SLR LE CALCUL DES RACINES PRIMITIVES DES NOMBRES PREMIERS

i-JJ. Nous avons vu (nos lo9 et suivants) que la recherche d'une racine primitive d'un nombre premier est en général pénible. Voici quelques théorèmes qui permettent, dans certains cas, de prévoir une racine primitive.

Théorème. — Tout nombre premier de la forme j.-"—\ admet

comme racine primitive le nombre 3 (*).

En effet, toute racine primitive d'un nombre premier impair est un nonreste quadratique de ce nombre.

(') FarkTj Bulletin de la Société philomathique; iSifi. Halphen, Sur des suites de fractions analogues à la suite de Farey [Bulletin de la Société mathématique, 1. \. p. 17": 's77). (J) Quant aux nombres de la forme 2;n+'-t-i, ils ne sont |>.is premiers, étanl

>li\ i-ibles par 3.

NOTE I

La réciproque n'est pas vraie en général, mais * - 1 1 * - l'es! lorsque le nombre premier est de la forme p = 2,/l-t-i. En effet, l'exposant auquel un nombre a appartient parrapporl à/>, est un diviseur de jo — 1 = 2-". Si donc a n'est | ■ ; 1 - racine primitive, c'est-à-dire si son exposant n'est pas

égala ! . il est un diviseur de a*" ', c'est-à-dire de - •

On a donc

y — ' a 2 == 1 ( mod /' I.

I > 1 > m- <i est un rest i' quadratique.

Ainsi, tout nombre qui n'est pas racine primitive est un reste. Il en résulte que, inversement, tout non-resteesl une racine primitive. Ceci posé, pour dén trer le théorème, il faut donc démontrer que

Mais

1 étant de la forme j h - - 1, on a

I ('ailleurs Donc

1 ■>, ( mod3).

' ^Hf)

ji -.,

démontre I»' théorème.

ce qui

Exemple. — Depuis 1 jusqu'à 200 on rencontre comme nom lu -es premiers de la forme précédente les nombres -i--\- 1 = 5 et a4-t- 1 = 17. Ils admettent '< comme racine primitif e.

423. Théorème. — Soit p un nombre premier impair, tel que •>./> -h 1

soit aussi un nombre premier. Si p es/ de la forme j h -+- 1 . le nombre >./> -f- 1 admet 2 comme racine primitive. Si p est de la forme \ h — r, le nombre >/> \ admet (—2) ou, ce gui revient au même. >o — 1 comme racine primitive.

lui effet, par rapport au nombre premier >/>-4-i, tout nombre ne peut appartenir qu'à un exposant diviseur de %p\ c'est à-dire (puisque p esi premier 1 à l'un des <|n;it re exposants

Le seul nombre appartenant à l'exposani 1 est 1. Le seul nombre appartenanl à l'exposant 2 est — 1.

Donc, pour démontrer qu'un munlue dillérent de 1 el île 1 est liieiue

primitive de ip : [ , il suffit de démontrer qu'il n'appartient pas à l'exposant /' ; autrement tlii . qu il est non reste du nombre 2/7 + 1.

SI R LE CALCUL DES RACINES PRIMITIVES DES NOMBRES PREMIERS. 33j

< leci posé, soit d'abord

/' - \h-hi.

Alors

Or on sait que le nombre > n'est pas reste quadratique des nombres de la forme Sh -+- 3. Donc ■>. est racine primitive. Soit, au contraire,

/' - \ti-i.

Alors

Or on sait que le nombre — 2 n'est pas reste quadratique des nombres de la forme 8/< — i. Donc ce nombre ( — 2) ou le nom lue ■> /> — 1 [qui lui est congru mod {ip -+- i)j est racine primitive.

Exemple. — Depuis 1 jusqu'à 200 on rencontre, comme nombres premiers de la forme %p -t- 1. tels que p soit premier de la forme \ h + 1 , les nombres

1 1 . "xj. 83, 107. 179.

Ils admettent 2 comme racine primitive. Gomme nombres premiers de la forme 2^ + 1, tels que/? soit premier de la forme \1i — 1, on rencontre les nombres

qui admettent — 2 comme racine primitive.

124. THÉORÈME. — Soit p un nombre premier impair, tel que \p-\-\ soit aussi un nombre premier. Le nombre \p-\-\ admet comme racine primitive le nombre 2.

En effet, par rapport au nombre premier /[ p h-i , tout nombre appartient a un exposant diviseur de \p. c'est-à-dire à l'un des six exposants

Or le nombre 2 n'appartient ni à l'exposant 1, ni à l'exposant 2. Il n'appartient pas non plus à l'exposant 4> En effet

Donc t ne peut appartenir à l'exposant î- si (/> + 1 > 1 ">. D'ailleurs le seul nombre premier de la tonne en question, pour lequel cette condition ne -.ut |.a~ réalisée est 1 '>. et pour ce nbre le théorème se vérifie directement.

Restent les exposant -

NOTl l'.

On voit donc que si a n'étail pas racine primitive, il appartiendrait .1 l'exposant p ou à l'exposant >/,. Dans lc< deux cas <>n aurait

■.'.-/' = 1 1 mod 1 /' -r 1),

c'est-à dire que s serait reste quadratique de [/?-+-!.

Mais c'est impossible. En effet, /< étant un nombre premier impair est

de la lui me > li 1 . I lune

\p 1 si,

Or on sait que 2 n'est pas reste quadratique des nombres de cette forme.

Exemple. — De 1 à 200, on rencontra comme nombres premiers <!<• la forme \p-\-i, tels que /' soit premier impair, les nombres

Ces nombres admettent 2 comme racine primitive.

i-J.'i. Théorème. — Soit p un nombre premier, tel ou,- •>.'"" zp -t- 1 (m 11 ^o«7 aussi un nombre premier. Si, de plus, la condition

/' ' a„,-HI

< .s/ satisfaite, le nombre ■!'" > 2/> h- i admet 3 connue racine primitive.

En effet, par rapport au nombre premier .>."' ' -/> -h f , tout nombre appartient à un exposant diviseur de ■i"1'-/,. c'est-à-dire à l'un des exposants

Le nombre ! ne pourrait appartenir à l'un des exposants

que si I on avait (1)

5i— 1 = 0 | mod ( •>.'" - ' /, i)]

1 ;-" - 1 ,i •;-""■'.+ 0 = 0 [mod(2'"+*jt>4-i)]. Or l'on n'a certainement p.i-

')— i==o [ mod i >'" -/> ■+■ 1 1], car cette congruence entraînerait

in I mod| 2m+tp -+■ 1 1], ce qui voudrait dire que 3 serait reste quadratique du nombre ■<"'■-/> 1

SUR LE CALCUL DES RACINES PRIMITIVES DES NOMBRES PREMIERS. 33g

Or ceci est impossible, car le nombre im+*p 4- i n'est certainement pas

de l'une des formes i>.h ±i. Il ue pourrait y avoir exception que pour

/> = 3, mais la condition p > (m = i) entraîne a fortiori p > 3 .

La congruence (a) entraînerait donc

3 v > >j+ , = o [ mod(2'»+2/> -4- i)], ou

(3) 3<îm+,>-!-i = k(2m+ip-hi),

h étant un certain nombre entier.

Dans cette égalité h ne peut être nul; il ne peut non plus être égal à i puisque alors on aurait

3(2'« + ')= •im+2pi

ce qui est manifestement impossible, l'un des nombres étant pair et l'autre impair.

Donc h~ti. Donc l'égalité (3) donnerait

d'où

3(2-+., , pS

Or ceci est contraire à l'hypothèse.

Il en résulte que la congruence (1) est impossible; et, par suite, que le nombre 3 ne peut appartenir qu'à l'un des exposants

Il en résulte que si 3 n'était pas racine primitive, il appartiendrait à l'un

des exposants

Dans tous les cas. on aurait