mod(2'»+-/> -+- n
c'est-à-dire que 3 serait reste quadratique de (•>.'"+- p -+- 1).
Mais nous avons déjà vu plus baut que c'est impossible. Le théorème esl donc démonl ré ( ' ).
(') L'é icé de <c théorème se trouve dans la Théorie des congruences {Éléments de la théorie des nombres) de Tchebyscheff, avec cette différence, qu'au
lieu île la condition p > — — , il y a la condition, évidemment moins
avantageuse, p> . »
/ mple. — Faisons m -- i. I>r i à 200 "ii rencontre comme nombres premiers de la forme %p ■+- 1, tels que p soit premier impair el satisfassi
.1 la condition p . — — ou p ; ï, les nombres 8g et i i-. Ces nombres
admel i enl ! comme racine prim itive.
NOTE F
Mil l.\ FRACTION APPROCHANT LE PLUS ù'W NOMBRE O ET DONT LE DÉNOMINATEUR ESI Mis PETIT QU'UN ENTIER m.
126. \ la théorie des fractions continues se rattache la question inté i essante suivante :
Parmi toutes les fractions dont le dénominateur est plus petit qu'un entier donné m, trouver celle qui approche le plus par défaut d'un nombre donné a. De même trouver celle qui approche le plus par excès.
Considérons les valeurs approchées par défaut du nombre a à - • -> -• ■ • •
près; elles forment une suite
;ji •' ■ ■'
Dans cette suite, barrons tout terme qui n'es/ pus plus grand que tous les précédents. Nous obtenons une nouvelle suite que nous appellerons iuite (A).
Il esi bien évidenl que pour trouver, parmi toutes les fractions doni le dénominateur est plus petit que m celle qui approche le plus par défaut de a. il suffit de prendre, dans la suite i \ i, la fracti [ui a | r dénominateur le nombre le plus voisin de m el inférieur à ce nombre.
Si, au lieu «le- valeurs par défaut, on prenait les valeurs pai excès de a, et que Von barrât tout terme qrui n'est pas plus petit que tous les précédents, on formerait de même une suite i B). Pour trouver, parmi toutes les fra< lions dont le dénominateur est plus petit que m. celle qui approche le plus, par excès, de a, il suffit de prendre, dans la suite i B i, h fraction qui a pour dénominateur le m un lue le plus voisin de m et inféi ieu i .i ce nombre.
Il est bien évident qu'il n'\ a qu'une suite jouissant de cette propriété de l,i suite i '> i el qu'une suite jouissant de cette propriété de la suite | B .
/ p» mple. — Pour le nombre e on trouvera facilement les suites
» ", s kj inii agg (<)> 685 8~8 1*171 \->i\ \
- > — j ô ' — ' "5 — ' ' ô— ' ~ r~ ' •". " TF7" '
1 ! 7 .., 1 10 1 Ni • • ■ > ' > nj 1 .|l> •
; 11 3o ig ('>* 87 m'} 1 j ".- J178 68gg g6ao 1 j 11 1 s 25 \i 71 )36 ' il'- »538
SI li l.t FRACTION LPPROCHANT LE PLIS D'UN NOMBRE a. 34 1
i-27. Remarquons que, sinous réduisons a en fraction continue, les ré duites de rang impair sont nécessairement contenues dans la suite (A), et luites de rang pair dans la suite (B), d'après les propriétés de ces réduites démontrées au n° 9G.
Nous allons montrer comment de ces réduites on peut déduire tous les tenue- de la suite (A) et tous ceux, de la suite (B).
Soient deux réduites consécutives de rang impair, par exemple,
Q*-i Qa+i
On a
B/.-M IVi -+- «/,-H P/i
Q/.+i Q/,-1 -i- «/.-hi Q/,
Considérons l'expression
P<-i -+- m PA Q*-i-t- »iQ*
Pour m=o. cette expression donne la réduite
Pour />; = «a-hi, elle donne la réduite -— - •
Pour les valeurs 1.2, ..., a/l + 1 — 1 de m, on obtient donc a^+j — 1 frac-
tions intermédiaires entre et — - — -
428. Je dis que la suite (A.') formée par les réduites de rangs impairs
et les fractions intermédiaires n'est autre que la suite (A).
En effet, d'après la façon dont elle a été formée, la suite 1 A') se compose de fractions croissante-, à dénominateurs croissants et tendant vers a.
Considérons deux fractions consécutives de la suite (A' ), soient et —. •
le dis qu on a
En effel . — est de la forme
et —. de la for
I >onc
Pn + fm + hl' Q/,,-t- ///",,
p'q — q'p = [ r'/. 1 -*-(/»+ 0pa]| Q*-i — °iQa J
- | !'/,,- ,/, PA j [Ç>, + (m -, ,( »;, | = !»/, Q,, - QAP* , = r.
Ceci posé, je dis que la suite 1 \ 1 jouil de la propriété caractéristique de la suite (A), ce qui prouvera qu'elle lui est identique.
NOTE F
y Pour cela, il suffil évidemment '1'' démontrer que st une fraction —
est comprise entre dt ux fractions consécutives — ■> —, de la suif' \
y est plus graml que q '.
En effet, on a. par li\ pol bi
fj y v
d'où . <'n se rappelant que p'q — q'p = i ,
o < v ■'■ —py<—, '/
il Mil
y > v', qx — py);
qx — py étant positif, est au moin* égal à i . Donc y c>t plus grand que q Le théorème est donc démontré.
Si l'on opérait de même avec les réduites de rangs pairs, on trouverait la suite ( B
4:29. Lorsque le nombre proposé est commensurable, les suites (A) et
(B) sont évidemment limitées, le nombre proposé faisant partie des deux
,-, . • . Qi3 , ,
suites. Exemple, le nombre =-=- donne naissance aux deux suites
et
7 18 29 4o 5i 6». 1 2 » 8 ii 1 4 17
;.', joi, 493 ">77 G61 7 î j 82g 91 3 89 1 12 i35 i58 îbi ■*. 1 1 2 >7 -25o
|:î(). Voici encore une autre manière de former ces suites. Soit a un nombre.
Posons
ait at, as étant des nombres entiers positifs ou négatifs, en nombre limité ou illimité.
