SUR LE GROUPE MODULAIRE

431. Les résultats démontrés au § IV du Chapitre \l sur la réduction des formes à discriminant positif donnent, en passant, un résultat important relatif au groupe modulaire.

Soit (A,B,C) une forme réduite, -"ii l ". I>. c 1 une forme de même classe. Il y a autant de substitutions modulaires transformant (a, b, c) en 1 A. B, G) qu'il \ «-ii a transformant 1 V, B, G) en elle-même (n/1 316), c'està-dire qu'il peut y en avoir deux, quatre ou six (11° IMS 1.

3 i i Min: g.

\mii- .il li m- supposer que la forme réduite i ^. Iï. < '■ ■ soit une forme primiti\ r, c'est-à-dire que les trois coefficients \ . B, C n'onl pas de <li\ iscurs communs i n° -"."> i.

Nous allons d'abord montrer qu'il n'y a que deux substitutions qui transforment i \ . lî. C) en elle-même, excepté :

i° Si A = 2, B = i, G = 2. auquel cas il \ a six de ces substitutions;

■ Si A = i , B = o, C = i, auquel cas il j en a quatre.

En effet :

i° On sait.(n° 318) que, pour qu'il y ait six des substitutions en question, il faut que

4D ^ Sa*.

Puisque V, I!. G n'ont pas île diviseur commun, le plus grand commun diviseur i de A, 2B et G ne peut être que 1 ou 2. Dans le cas qui nous occupe, il doit être pair d'après l'égalité (1); il est donc égal à >, et l'on a

Or, il n'y a ( n" '.'rl'.i \ que deux formes réduites de discriminant égal .1 i. ,1 savoir les formes (1,0, 3) et (2,1,2). Mais, pour la première, » = i. Donc la seconde seule répond à la question.

20 Pour qu'il y ait quatre des substitutions en question, il faut que

Si a = 1. on a

Or il n'y a qu'uur forme réduite de discrimina ni égala I, à savoir 1 t,o, 1 |. Elle répond à la question.

Si a = 2, D = 4- Or il n \ ;i que deux formes réduites de discriminant égal à 4, à savoir (2, o, 2) et (1, o, \ 1. Mais la première n'est pas primitive, et pour la seconde a = 1 .

\.\-l. V partir de maintenant, nous supposerons que (A, B, C i est une forme réduite, primitive, différente de (1,0, 1) ou de (2, 1,2).

Dans ces conditions, «"it (a, h. c) une forme de même classe que

1 \.i;.(i). il n'y a que deux substitutions lui. uns qui transforment

(a, b, c) en (A, B, C).

Soit lî l'une de ces substitutions, l'autre est lil (n° 318).

Soit alors R une substitution modulaire quelconque. Si l'on applique à (A, IL G 1 la substitution lî ', <>u trouve une forme 1 a, b, c I. Inversement, la subst ii ni ion lî transforme (atb, c) en 1 ^.,B,C), Il en esl de même de la substitution lil ; mais il n'j .1 pas d'autre substitution modulaire que ces deux-là qui transforment < a, b, c l en 1 \. K, G).

SIR I.F.S PONCTIONS NUMÉRIQUES. 3 1 5

I l'autre part, on peut passer de <a.b,c) à (A, B,C) par une suite de substitutions S et T (nos 309 et 310).

On en déduit donc que toute substitution du groupe modulaire à deux variables est identique à un produit de substitutions S et T ou à ce produit multiplié par I.

ii!:!. Si l'on considère le groupe modulaire à une variable ( n° 327), comme, dans ce groupe, les deux substitutions R et RI sont identiques, on peul dire que toute substitution du groupe modulaire à une variable est identique à un produit de substitutions S et T (l).

NOTE H