SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES

134. Nous appelerons fonction numérique, une fonction qui n'est définie que pour les valeurs entières de la variable, et qui n'a elle-même que des valeurs entières

Autrement dit, un nombre entier N est une fonction du nombre entier /i, lorsqu'à chaque valeur de n correspond une valeur de N.

Exemple. — La somme des diviseurs du nombre n, l'indicateur du nombre n, etc., sont des fonctions numériques.

135. Intégrale et dérivée suivant tous les nombres. — Soit une fonction numérique /(n). La fonction

sera dite intégrale numérique de fin) sui\aut tous les nombres.

Inversement f(n) sera dite la dérivée numérique de F(/*) sui\.ini tous les nombres.

Exemples. — Si la fonction f(n) est égale à n, la fonction F(n) est

, . . n( n -t- i ) égale a —

Si la fonction f(n) est égale à ni', la fonction F(n) est égale à un cei tain polynôme en n de degré p-\-i, et qu'on appelle plèm' polynôme de Bernoulli.

(') Pour l'étude du groupe modulaire, v>ir Vorlcsungen ueber Théorie der elliptischen Modulfunctionen (Klein). En particulier, le Chapitre III de la seconde Partie de cet Ouvrage est consacré à la relation entre le groupé modulaire et la réduction des formes quadratiques el à la représentation géométrique de celte réduction.

noti: il.

136. Il esl évident que l'intégrale, suivahl tous les nombres, d'une font ii"ii déterminée, esl déterminée par la formule ( i i.

Inversement la dérivée, suivant tous les nombres, d'une fonction déterminée, est déterminée par la formule

Nous désignerons l'intégrale suivant tous les nombres de la I :tion

f(n ) par la notai i"n

Inversement, nous poserons

\.\~i . Intégrale et dérivée suivant les diviseurs. — Nous appellerons, d'après Tchebj scheff, intégrale suivant les diviseurs d'une fonction j > // 1, la fonction 'Im h | définie par l'équation

i . il . <-/'. .... n étant tous les diviseurs de n. Inversement, /"( n l sera dite la dérivée «le 'Im n \ suivant les diviseurs.

Exemples. — Sif(n) est l'indicateur de //. 4>(/i)esl égale à n. Si f( ii) est l'indicateur du />"""' ordre de n, 'Im n | esl égale à ///'.

438. L'intégrale, suivani les diviseurs, d'une fonction déterminée /{n) est déterminée par la formule (2).

Inversement, la dérivée suivant les diviseurs d'une fonction déterminée <l»(/i) est déterminée. En effet, écrivons les // premières équations (2).

*(n) /(1) /(rf) /(«T) +... + /(/!

Nous en tirons