SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES

Nous désignerons l'intégrale suivant las diviseurs de la fonction f(n)

par la notation

Inversement, nous poserons

4^39. La fonction \t-{n). — Soit ,/(/*) une fonction égale ;'i un pour n = \, et à zéro pour toute autre valeur de n. Nous désignerons par ;jli n | la dérivée, suivant les diviseurs de cette fonction f(n).

Autrement dit. on a les égalités :

(6) 2lJ-"M = 0- ("5*0

Les formules (4) donnent alors

H(3)=— i, p.(4) = o, H(5)=-î, [il 6) = -hi.

'i lu. Je dis que, en général :

\±{n) = o quand n contient des facteurs premiers multiples.

u.(n)=-f-i quand n ne contient que des facteurs premiers simples et en nombre pair.

jjl(/i)= — i quand n ne contient que des facteurs premiers simples et en nombre impair.

Pour le démontrer, je remarque que la fonction \x(n) étant complètement définie par les équations (5) et (6), il suffit de montrer que les valeurs qu'on vient de dire pour \x(n) satisfont à ces équations.

La chose est évidente pour n = i, et, par conséquent, pi un- l'équation (5).

Soit maintenant n p± i . Soit

la décomposition de n en facteurs premiers. Soit /• le nombre de ces facteurs a, b /. Les diviseurs de n qui conl iennenl des facteurs premiers

348 N"ii ii.

multiples, donnant par hypothèse des valeurs nulle- pour la fonction [x, n'interviendront pas dans la vérification de la formule (6 .

Les diviseurs «le // qui ne contiennent que des fai Leurs premiers simples soni

i; i/./>,c /, ./: ab,ac /./: abc,abd ///./: ...: abc.hkl.

Il \ en a i égal à l'unité,

» - contenant i facteur premier,

contenant •> facteurs premiers,

contenant i facteurs premiers,

., /■(/•- i ii /■ — •>)... i

il j en a contenant r lecteurs premier

La somme des jjl de ces diviseurs esl donc égale, d'après les hypothèses

laites sur la valeur de la fonction a, à

Or on sait que cette somme esl nu Ile La formule i 6) esl donc vérifiée. iil . . application aux formules ( j). — Je dis que ces formules s'écrivenl

/,",~2;iG/,'""/

Pour le démontrer, je suppose que dans les formules ( 3) on considère celles «le rangs i, d, a" n, qu'on les multiplie respectivement par

[a ( — 1, ;x f - j , • • • > ;ji ( - 1 ii qu'on les ajoute, il est facile de voir que

SUR LES PONCTIONS NUMÉRIQUES. 34g

le coefficient de f(d) dans le second membre est

8 désignant les <li\ iseurs de ,

Or, cette somme peut s'écrire

Elle est donc nulle pour d ^ n et égale à i pour rf= /i. Donc on obtient bien ainsi la formule

142. lutre forme de cette formule. — Cette formule peut s'écrire sous une autre forme duc à Liouville.

Soit n =a*ùï... />■.

Dans la formule (7) il n '\ a besoin d'écrire dans le second membre que

les ici nu- relatifs à des diviseurs de n, tels que -: ne contienne pas de fac

leurs multiples. Ces diviseurs sont

ac

abc . .

.kl

et la formule l 7) devient, en remplaçant les coefficients \j.( — \ par leurs

\ aleu i -.

c'est -à-dire encore

, 8 1 /■ n i = V *l rf) — V *l rf' l,

en posai) 1

Telle 1 -1 la formule de Ijmun ille.

3ôo

NOTE II

11.;. Comme application, si la ï :tion f(n) esl l'indicateur tp(»), on

-;iit < j m «• l'intégrale *!■ n) esl égale à n. La formule i 8 I donue 'I : alors

à-dire

< »n rel i "n N'' ainsi la formule du n° / 1

iii. Relations avec la théorie des fonctions analytiques. — Considérons une fonction analytique développée en série de Taylor. I>.m- ce développement le coefficient de x" est une fonction numérique de n.

Inversement, soil /"(/i) une fonction numérique <le/<. Le développement

définit une certaine fonction analytique de x l pour les valeurs de a? pour lesquelles cette série est convergente).

La connaissance de la fonction analytique G(^r) entraîne c«l 1<^ de la fonction numérique f(n) et réciproquement. Les connaissances des deux fond ions sonl donc équivalentes.

Ceci peut être considéré comme nne généralisation des idées de Kronecker relatives aux polynômes {voir n° 248).

Il faut remarquer que la fonction fi n l peul êl re telle que la série g | ne soit convergente pour aucune valeur de x. On conçoit cependant qu'on puisse continuera regarder la série comme un symbole représentant la fonction numérique. Ces! une façon d'envisager l'introduction dans le calcul de séries divergentes.

Le développe nu- ni de Taylor peul d'ailleurs être remplacé par un autre,

par exemple par un développement de la forme ^: » tel que ceux

qu'on a considérés aux n"5 398 et sui\;mt».

145, \ ce point de vue, les procédés d'intégration et ilt" dérivation suivant tous les nombres ou suivant tous les diviseurs sonl caractérisés l'.u les formules suivantes- Soit f(n) une fonction numérique, F(/i) son intégrale suivant tous les nombres, "ï>(u | son intégrale suivant tous les «li\ iseurs. < >n .i les formules

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