III. n et n' étant premiers entre eux
IV. La somme des indicateurs du pième ordre des diviseurs de n est égale à n'' .
Tous ces théorèmes se démontrent comme les llicorùmcs analogues sur l'indicateur du premier ordre (').
§ III. — Décomposition en facteurs premiers du produit des n premiers nombres. Applications.
79. Problème. — Le produit des n premiers nombres étant supposé décomposé en facteurs premiers, quel est V exposant du facteur premier p dans ce produit?
Parmi les nombres de i à n, ceux qui contiennent le facteur premier/? sont les nombres
leur nombre est E(
Mais certains de ces nombres contiennent le facteur premier p élevé au carré, ce sont les nombres
!./>«, i.p*-, 3./>2, ..., E(^j leur nombre est E ( - ) •
(') L'indicateur du premier ordre a de nombreuses applications : à la théorie des équations binômes, à celle de la division du cercle, etc.
L'indicateur du second ordre s'est rencontré dans la théorie des fonctions modulaires elliptiques {voir, par exemple : Vorlesungen Hier die Théorie derelliptischen Modulfunctionen de Klein, publié par Fricke). Nous le rencontrerons plus loin dans la théorie des substitutions linéaires.
De même le nombre des nombres de i à n qui contiennent le
facteur p* est E ( —^ \ et ainsi de suite.
On voit que le facteur premier p est contenu dans le produit proposé un nombre de fois ('gai à
p'x étant la plus liante puissance de p, non supérieure à n, c'està-dire, y. étant tel que
On peut d'ailleurs remplacer la somme précédente par E( — ) E| -«)-<-•■• (indéfiniment),
puisque tous les termes qui suivent E( a ) sont nuls.
80. Appliquons ce résultat à la démonstration du théorème suivant :
Le produit de n nombres consécutifs est divisible par /<• produit des n premiers nombres.
Ainsi (m -+- i) (m + 2). . .(m -+- n) est divisible par n ! (// ! représentant comme à l'ordinaire le produit îles n premiers nombres).
En effet, nous allons montrer que tout facteur premier // esl contenu dans le premier de ces produits avec un exposant au moin> ('gai à celui avec lequel il est contenu dans le second.
L'exposant de p dans le second produit est
Pour trouver l'exposant de p dans le premier produit, remarquons que ce produit peut s'écrire
Donc l'exposant cher< hé est
DÉCOMP. EN FACTEURS PREMIERS DU PRODUIT DES H PREMIERS NOMBRES. 3o,
On a donc à montrer que
Hj)
ElA
Pour cela, il suffît de montrer que chacun des termes du premier membre est plus grand que chacun des termes du second, et pour cela, enfin, il suffît de montrer que, K étant un nombre quelconque,
(7) e(2+*)-*(Z)zr(Ï
r on a
- >E K- VK
Donc, puisque le second membre est entier,
co qui revient à l'inégalité (7).
81. Autre démonstration de ce théorème. — Une autre démonstration du théorème précédent repose sur l'identité facile à vérifier
Pour démontrer que le premier membre est divisible par n ! , il suffit de prouver que m(m + i)...(m + n — î) est divisible par n\ et que (m -f- 1) (m -+- 2). . .(/>* +n — 1) est di\ isible par (n — 1)!; c'est-à-dire qu'on esl ramené au même théorème que
colin
par // — i . ( )u voil que, de proche en proche, on est ramené iilions é\ identes (' ).
§ IV. — Des nombres entiers ou fractionnaires négatifs.
<X:2. Nous supposons que le lecteur connaît la définition cl les règles du calcul des nombres négal
En particulier, >i l'on considère des nombres entiers négatifs, quelles sont les propriétés démontrées jusqu'à ma in tenant pour les entiers positifs, qui peuvent s'appliquer à ces nouveaux nombres?
Les définitions de multiple, diviseur, subsistent sans changement .
83. Des restes négatifs. — Soient a et b deux nombres, a n'étant pas di\ isible par b. 11 y a deux multiples consécutifs de b (|ui comprennent <i. soient qb d {q 4- i)b, et l'on peu! écrire
a — qb /'.
ou
/• el /•' étant positifs et plus petits que b. La «quantité r' peut s'app< 1er un reste négatif.
Reste minimum. — Entre les nombres /• et /•' on a la relation
Il \ .i doue en général un des dcu\ nombres /•, r' qui esl plus
b petit que -•
(') On suit que ce théorème résulte d'ailleurs de ce que l'expression
( m - 1) ( m -\- •>.)...( m n) . , , . . , . j représente le nombre de combinaisons de (m -■ n)
