DES N03I3UES

Dans le cas par; J b est pair et où /• = -, /■' est

égal a -•

En définitive, on voit qu'on peut toujours écrire

p étant positif ou négatif, niais au plus égal à - en valeur absolue.

p s'appelle le reste minimum de la division de a par b. 11 est déterminé, excepté quand, b étant pair, a est éq nidifièrent de deux, multiples consécutifs de b Dans ce cas, le reste minimum

est îndilleremnicnl ou

81. Les diviseurs de a et de — a sont identiques. Dans la recherche des communs diviseurs à deux nombres, on peut donc toujours opérer sur des nombres positifs.

Le nombre — i doit être considéré comme une nouvelle unité.

Les nombres négatifs sont décomposables, et d'une seule façon, en un produit de facteurs premiers positifs, multipliés par — i.

Pour que cette décomposition ne puisse se faire que d'une seule façon, il faut convenir que l'unité — i n'est jamais élevée à aucune puissance.

8o. Nombres fractionnaires négatifs. — La seule remarque que nous ayons à faire sur ces nombres porte sur l'expression suivante : partie entière cV un nombre négatif. D'une façon générale, la partie entière M d'un nombre quelconque m est délinie

par les conditions

On voit que les nombres m et — m n'ont pas des parties entières égales et de signes contraires, à moins que m ne soit entier. Ainsi la partie entière de (7 + f) est 7 ; celle de — (- + |) est — «S.

A et B étant des nombres entiers positifs ou négatifs, la partie

entière de — s'appelle aussi le quotient à une unité près de 77-

Si de A on retranche le produit par P> de ce quotient , on trouve un nombre positif que nous appellerons reste (à moins qu'on n'indique spécialement qu'on veut parler d'un reste négatif).

i; V. — Fractions continues.

8G. On agnelle fraction continue une expression de la forme

a . f/„ riant des nombres entiers positifs. Quant à «,, c'est

un enl ier positif, négatif ou nul.

\miis représenterons aussi cette expression par la notation plus simple [a1} ai: . . . , a„].

87. Tonte fraction continue est égale à un nombre commensurable, car si l'on considère les nombres

ri J>2

le dernier de ces nombres n'est autre que y. Or, le premier de ces nombres étant commensurable, le second y2 l'est aussi, puis^3, et ainsi de suite.

Réciproquement, tout nombre commensurable est égal à une fraction continue et à une seule.

En effet, soit un nombre commensurable = ; cherchons à déterminer des entiers a,, a2 </„ positifs à partir du second, de

façon que