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treindre el dire que ta I héorie des aombres est La Théorie des nombres entiers, en tant seulement qu'ils sont entiers.

Mais il est <\ ident alors que la Théorie des nombres fractionnaires ou m'- mensurables, en tant qu'ils sont fraction

naires ou incommensurables, esl étroitement liée à la précédente. En fait, il est pratiquement impossible d'étudier l'une de ces Théories indépendamment des deux autres. Par exemple, les problèmes d1 analyse indéterminée du premier degré, problèmes dans lesquels les données et les inconnues sont des nombres entiers, se traitent par le développement en fraction continue d'un nombre fractionnaire. Les problèmes d1 analyse indéterminée du second degré, dans lesquels les données el les inconnues soni aussi <.\c> nombres entiers, se traitent par le développement en fraction continue d'un nombre incommensurable.

En résumé, la Théorie des nombres étudie les propriétés des nombres, en tant que ces nombres sont entiers, fractionnaires ou incommensurables; «'lie cherchée distinguer ces nombres, à les classer, à étudier leurs propriétés particulières; mais les propriétés qui appartiennent à tous les nombres, par exemple celles qui constituent le calcul algébrique el toutes ses conséquences, échappent à La Théorie des nombres.

Notre Ouvrage contient d'abord les matières suivantes : Premières propriétés des nombres entiers; Nombres fractionnaires; Fractions continues; Congruences; Restes quadratiques ; Sombres incommensurables; ( Classification des nombres incommensurables; Formes quadratiques binaires; Ina/yse indéterminée du premier el (lu second degré.

Il contient, de plus, sous forme de Notes, l'exposé de quelques questions particulièrement importantes ou intéressantes, el qui ne rentrenl poinl dans Le cadre précédent.

Parmi Les principales, citons: Compléments à la Théorie des nombres premiers ; Décomposition des grands nombres

en fadeurs premiers; Calcul des racines primitives; Fonctions numériques: Vombres imaginaires de Gauss; Nombres imaginaires quadratiques en général.

Telles sont les matières qui nous ont paru devoir entrer dans 1rs Éléments de la Théorie des nombres. Nous réservons pour le Traité plus complet, que nous aurons peut-être le plaisir de publier un jour, les Théories de la composition et du nombre de classes des formes quadratiques; les Recherches de Riemann sur la fonctionnas}, et les travaux qui en ont été la conséquence; la Théorie des idéaux de Kummer et Dedekind, etc.; toutes matières plus difficiles que les précédentes et qui d'ailleurs, étant encore l'objet des travaux de nombreux géomètres, ne présentent pas ce caractère définitif que doit avoir un Traité didactique.

D'ailleurs, autant que possible, nous avons mis le lecteur sur la voie de ces questions : la Théorie des nombres entiers imaginaires étant, par exemple, une préparation à celle des idéaux.

L'Ouvrage se termine par des Tables numériques : Tables de nombres premiers, de racines primitives, d'indices, de diviseurs linéaires de formes quadratiques.

Ne voulant pas allonger inutilement, nous avons passé rapidement sur les théories élémentaires ou sur celles dé\i>loppées dans d'autres Ouvrages; par exemple, sur les premières propriétés des nombres entiers et sur la définition des nombres incommensurables. Nous ne pouvions les passer complètement sous silence, sans laisser une lacune dans l'Ouvrage. Nous avons d'ailleurs, en cela, sui\i l'exemple des plus illustres géomètres, Legendre, Lejeune-Dirichlet, etc., qui, dans leurs Théories des nombres, n'ont pas jugé indigne d'eux de commencer au débul même, à la définition du nombre <-n t ici*.

Nous avons, dans toutes les questions, donné des exemples numériques. Ceci nous semble d'une grande importance. Il ne suffit pas de démontrer qu'un nombre existe, il faut sa\<»ir

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[e calculer. Par exemple, la possibilité ou l'impossibilité d'une congruence du second degré se détermine facilement par l'emploi des symboles de Legendre el Jacobi; mais le problème de trouver les racines de cette congruence entraîne des calculs souvenl pénibles.

C'esl '-H nous plaçanl au même point de vue, < j 1 1 < - qous avons donné les méthodes par lesquelles on détermine les di\ iseurs «I un nombre.

Tous ces calculs exigent l'emploi des Tables <|u<' qous avons placées à la lin du \ olume.

En publiant ce Traité, nous avons pensé être utile à tous les étudiants en Mathématiques, à tous ceux qui, ayanl besoin de la Théorie des nombres, sonl obligés actuellement d'aller la chercher dans des Ouvrages étrangers qu'ils ne lisent souvenl que difficilement.

Peut-être aussi intéresserons-nous ce que nous appellerons les mathématiciens amateurs. Nous voulons dire ceux, officiers, ingénieurs, etc., qui, avant nue instruction solide el le goûl de la Science mathématique, prennent plaisir à s'en occuper, dans les loisirs que leur laisse leur profession. A ceux-là, la Théorie des nombres, pins difficile peut-être, mais exigeanl moins d'études préalables que la plupart des autres Théories modernes, réservera de grandes jouissances.

On sait, en effet, l'attrait particulier qu'exerce celle Science. L'Auteur sérail heureux, s'il parvenail à procurer .1 ceux qui lironl cet Ouvrage, un plaisir égal à celui qu il .1 éprom é à le composer.