RAPPEL DES THÉORIES LES PLUS ÉLÉMENTAIRES

§ I. — Égalité des nombres entiers. Opérations. Numération.

1. L'Analyse tout entière repose sur les notions indéfinissables d'unité et de nombre entier. La notion d'égalité de deux nombres (') est comprise dans les précédentes. Ajoutons-y la notion de somme de deux nombres. Enfin admettons que la sont me de deux nombres ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les ajoute.

2. Mais on peut de finir la somme île plus de deux nombres en disant que c'est le résultai obtenu en ajoutant d'abord les fleur premiers nombres, puis la somme obtenue avec le nombre suivant, et ainsi de suite.

En particulier, on peut former tous les nombres, en ajoutanl l'unité à elle-même, puis encore une l'ois l'unité au résultat, el ainsi de suite. Les premiers nombres .hum formés s appellent un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix et se repré sentent par les signes suivants :

(') Comme dans toul ce qui \.i suivre, il ne s'agil que de nombres entiers, nous supprimerons l'épilhète entier sans qu'il en résulte 'I'- i onfusion. G. «

CHAI». I. i:\ITll DES I H l « » It 1 1 - LES PLUS ÉLÉMENTAIRES.

I s nombres étant formés de cette façon, toul nombre est dit plus grand que ceux qui ont été formés avant lui, et plus petit que ceux qui <»m été formés après.

Mous devons admettre encore un résultai sans démonstration,

ivoir que : la somme de trois nombres ne change pas quand <>/i change l'ordre des deux derniers.

Nous en avons fini avec les notions indé ntrables qui forment

la base des Mathématiques. Tout le reste s'en déduit par les i ègles ordinaires du raisonnement

3. Démontrons d'abord le théorjème suivanl : La somme d'un nombre quelconque de nombres est indépendante de raidi* 'lu us lequel on les ajoute.

En effet, de ce que nous avons admis, relativement à une somme de trois termes, il résulte immédiatement que, dans une somme d'un nombre quelconque de termes, on peut intervertir V ordre de deux termes consécutifs.

I i posé, considérons les termes rangés dans un ordre quel-

me. On peui amener le terme que L'on veut à la première

place, <'ii l'échangi ant avec le précédent, puis avec le précédent, et .iin-.i d<' suite. Ensuite on peut amener le terme que l'on \eiil à la conde place, et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les termes soient rangés dans I ordre que l'on, aura voulu.

\. Pour trouver />/ somme de plusieurs nombres, <>// peut

les répartir en groupes, chercher séparément les sommes (les

nombres contenus dans chaque groupe, et enfin faire la somme de ces sommes partielles.

En effet, d après la définition même de la somme <!<• plusieurs nombres, on peut remplacer les premiers de ces nombres par leur somme effectuée. Comme d'ailleurs «les termes quelconques peuvent être placés les premiers, la proposition est démontrée.

... votations. Quand on raisonne sur des nombres, indépendamment de leurs valeurs particulières, on représente souvent ces nombres par des l.i 1 1 <•«..

' ;| somme de plusieurs nombres a, b / se désigne par