CHAP. III. — DES COXGRIEXCES

§ II. — Congruence du premier degré à une inconnue. Analyse indéterminée du premier degré.

108. De même que parmi 1rs égalités on distingue celles appelées équations dans lesquelles certaines quantités sont inconnues, de même on peul distinguer les congruences dans lesquelles certaines quantités sont inconnues el doivent être déterminées de

manière à ce que la congruence soit vérifiée.

La congruence du premier degré à une inconnue a la forme

1 4) ax = b (mod n),

a et b étant connus, x étant inconnu.

D'après ce que nous venons de voir (n° 105), si a est premier avec n, il existe un nombre et un seul (à un multiple près de n) qui satisfait à la congruence.

Si a n'est pas premier avec n, soit cl le plus grand commun diviseur de a et de n. Si b n'est pas divisible par f/, la congruence est évidemment impossible. Si b est divisible par d, soient

a — a' cl, b - b' d, n = n'd, la congruence proposée est équivalente à la suivante :

(5) a'x = b' (mod ri).

a' et n' étant premiers entre eux, il existe un seul nombre (mod n') satisfaisant à cette congruence, soit x0. Toutes les solutions de la congruence (5) sont données par la formule

(6) x — x0-+- rit.

I étant un entier quelconque.

( Inerchons combien cela donne de solutions incongrues (mod n) pour la congruence proposée (4).

Pour que les deux valeurs de x données par la formule (6), pour deux valeurs / . / de t soient congrues (modn), il faut et il suffit que leur différence

soit divisible par n . c'est-à-dire que /" — /' soil dh isible par d. On aura donc toutes les solutions incongrues (mod n) de la

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE. 5g

congruence (4) en donnant à / les valeurs o, i, 2, . . ., d — i ,

ce qui donne d solutions.

109. Dans le cas particulier où n est un nombre premier absolu p\ on a le résultat suivant, complètement analogue à celui relatif à l'équation du premier degré :

La congruence ax = &(mod/>) a une solution sia^o (mod/.?). [On ne compte pas comme différentes deux solutions congrues (mod /?)]•

Si a = o (mod/?) et que b ^ o (mod/?) la congruence est impossible.

Si a= b = o (mod /?), la congruence est indéterminée.

110. Application. — Résolution en nombres entiers de l'équation ax + by = c. — Comme nous l'avons dit dans l'Introduction de cet Ouvrage, un des objets principaux de la tbéorie des nombres est la résolution en nombres entiers des équations à coefficients entiers.

Pour l'équation la plus simple, équation du premier degré à une inconnue ax = 6, la réponse est immédiate.

Cette équation a une solution si b est divisible par a; elle n'en a pas dans le cas contraire.