Passons maintenant à l'équation du premier degré à deux
inconnues
ax -+- by = c.
La solution de cette équation revient immédiatement à celle de
la congruence
ax = c (mod b).
En effet, soit#0 une solution de cette congruence, ax0 — c sera divisible par b; soit — y0 le quotient, on aura
ax0-t- by0= c.
Ainsi à toute solution de la congruence correspond un système de solutions de l'équation.
Go CHAP. III. — DBS CONGIUF.NCF.S.
On voit que si ci et b sont premiers entre eux, le problème est possible; soit x0, y* un système de solutions; d'après ce qu'un a • lit plus liant, toutes les valeurs de x sont données par la formule
(7; x = ./■„ • ht.
t étant un entier quelconque. J.a valeur de y correspondante, donnée par L'équation ax -+- by = c, est
(8) y y0-at,
et le problème est résolu.
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, soit cl leur plus grand commun diviseur. Si </ ne divise pas c le problème est impossible. Si d divise c, on peut d'abord diviser tous les termes de l'équation par d cl l'on esl ramené au cas où les coefficients de x et de y sont premiers entre eux.
112 Résolution par les fractions continues. — Nous avons démontré I existence des solutions, mais nous n'avons pas donné de méthode pour les calculer, sinon par tâtonnements, en essayant pour x successivement tout un système de restes incongrus par rapport au module b.
L'algorithme des fractions continues permet de résoudre le problème plus rapidement.
En effet, comme nous venons de le dire, on peut supposer a et b premiers entre eux. Réduisons en fraction continue la
fraction . • Soient 77-— et l'avant-dernière et la dernière réduite.
On a
Mais les fractions — et -,-> étant égales cl toutes deux irréduc-
tibles, sont identiques. Donc
Donc l'égalité (9) s'écrit
"'.'■. 1 -b 1'/,-. = (-i)'- • On en déduit
ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ. 6l
Donc (— i)A'Q/ \C et ( — i)A+,P/,iC forment un système de solutions. On en déduit tous les autres par les formules (7) et (8). Exemple. — Soit l'équation
345a:— \\y — ioi,
on a
L'avant-dernière réduite est — • Donc
d'où
345 ( — 1919)— 44(— i5o49) = ior.
La solution générale est
113. On peut envisager la question précédente d'une autre façon.
On dit qu'un nombre n est représentable par une expression f(x, j', z, . . .), lorsqu'il existe des valeurs entières des variables x,y, z, . . . qui rendent f (x,y., z, . . .) égal à /?.
Les résultats précédents peuvent dès lors s'énoncer comme il suit :
La forme linéaire ax + by peut représenter tout nombre divisible par le plus grand commun diviseur de a et de b, et elle ne peut représenter les autres.
En particulier, si a et b sont premiers entre eux, la forme linéaire ax -\- by peut représente/- tous les nombres.
D'ailleurs, quand la représentation d'un nombre est possible, elle l'est d'une infinité de façons.
lli. Résolution de V équation
ax -h by -+- c -z — . . . -4- /< s — Il = m.
«, 6, c, . . ., I, m sont donnés; .r, y, z, . .., t sont inconnus.
02 i HAP. III. — DES I 0NGR1 BNCBS.
Si a. I>. c I oe sonl pas premiers entre eux, soit d leur
plus grand commun diviseur. Si rfne divise pas ni, le problème est impossible.
Si d divise ///. on peul diviser toute l'équation par d. En un motj on peul supposer les coefficients des inconnues premiers entre eux dans leur ensemble.
Nous allons montrer que dans ce cas l'équation est possible et que sa résolution se ramène à celle d'une équation contenanl une inconnue de moins. Pour cela, nous allons montrer que si c'< ;sl vrai pour une équation à /> — 1 inconnues, c'est vrai pour une équation à p inconnues.
L'équation proposée s'écrit
( i o ) a x -+- by -t- c z -:-... -+- ks — m — // .
Si a. A, c, /. sont premiers entre eux, donnons à t une valeur quelconque, et il reste une équation en x} y, . . ., s, qui par h\ puthèse est possible.
Si d.h.<\ ..../.• ont un plus grand commun diviseur o ^é. i , on doit d'abord déterminer / de façon que
m — // = o ( mod 8 I.
Cette congruence est possible, car /et o sont premiers entre eux,
sinon a.l>:<- /. , / ne seraient pas premiers entre eux. < )n
obtient donc pour / une expression de la forme
// étant une nouvelle inconnue.
Substituons cette valeur de t dans l'équation (io), tous les tenues deviennent divisibles par 8 et l'on esl ramené au cas précédent.
Remarque. — Ce résultai peut s'énoncer comme au n° 113. La forme linéaire a x -+- by -+- . . . Upeut représenter tout nombre
divisible par le plus grand commun diviseur de >/. I> /. et
m- peut représenter les autres.
1 \o. Problème. — Trouver un nombre x tel que
./■ a ( mod % .
x - i> i mod '•> I,
./■ / i mod À ).
