ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEIIRÉ

Supposons d'abord qu'il y ait seulement deux modules, et que l'on veuille trouver un nombre x satisfaisant aux conditions

x = a (mo<l y. >.

./■ b (mod (3).

Les nombres satisfaisant à la première de ces conditions sont

de la forme

et il ne reste qu'à déterminer t par la seconde condition

'xt -f- a b (mod |3 ) ou

<xt == b — a (mod [3 I.

Soit d le plus grand commun diviseur de a et (3. Si cl ne divise pas 6 — « le problème est impossible. Si d divise b — a la congruence est ramenée à

Soit ^o une solution, toutes les autres sont de la forme

Bu

ce qui donne pour x des solutions de la forme

x = <xt0-h a -, 7- u,

ou

u? — ■ 3?o H r~ k^~ Il ,

Remarquons que — '- est le plus petit commun multiple de a

u étant un entier quelconque

et [i.

De proche en proche il est facile de résoudre le problème général.

Supposons qu'il soit possible de trouver des valeurs de x

CHAT. III. — DES CONtïRU.M I-.

satisfaisant aux congrucnces

x h ( mod a |, ./■ I> (mod fî),

r J2 l ( lll. , il /. i,

et <nic la solution soit de la forme

M étant le plus petit multiple commun de .0^7^77.. I.

Je dis (jue l'on pourra trouver, si elles existent, les valeurs de x satisfaisant à une congrucnce de plus, et que la solution est d'une forme analogue.

En effet, déterminons / de façon que x satisfasse à une con-

gruence de plus

x = m (mod ;jl).

Cela exige que

x0 -+- M / m ( mod u |

M / : m — r0 ( mod u).

Soit cl le plus grand commun diviseur de M et de ix. Si cl ne divise pas m — x0, le problème est impossible. Si d divise ni — x0 la congruence précédente est ramenée à

mod

Soit/0 une solution, toutes les autres sont de la forme

ce qui donne pour x des solutions de la forme

Mu

Mais — j- est le plus pcti L commun multiple de M et de u, c'està-dire le plus petit commun multiple de a, B, ....à. La solution est donc bien de la forme supposée.