Cas particulier. — Examinons le cas particulier où les

THÉORÈMES l>F. FERMAT ET D'EULER.

modules a, (3 >.. ut sont premiers entre eux deux à deux.

Dans ce cas le plus petit commun multiple des p premiers modules est premier avec le (p -h i)ième. Donc le problème est possible. De plus les solutions sont de la forme

ku.t.

car le plus petit commun multiple des nombres a. (3, . . . , À, u. est égal à leur produit.

I bailleurs, dans ce cas on a facilement la solution particulière x{) de la façon suivante : cherchons d'abord un nombre x{ tel que

a?i= i (mod a), T^= o (mod (3),

,rt = o (mod X), ,r, = o (mod jjl).

On a évidemment un tel nombre par la formule (3y. . .'a;.*./,, /, étant déterminé parla condition

[ÎSÀ. . .à;jl. t\ = i ( mod a).

Soient de même x., .v,.. . . ., œn des nombres satisfaisant aux conditions

r2=o ( mod y. I, 2\2= i (mod p), cr-2= o ( mod y)j

:r3= o ( mod a ), #3= o ( mod (3 i.

.r3= i (mod y),

:r2=o (modjJLj. a?3= o (mod(u).

x^x», ...,Xn étant ainsi déterminés, le nombre x0 = ax\ -+- bx-, -t- . . . -4- lxn-i-+- mx„

répond à la question.

Il est à remarquer que jc,,a%, . .., xn sont indépendants de

§ III. — Théorèmes de Fermât et d'Euler.

117. Bien que le théorème de Fermai ne soit qu'un cas particulier de celui d'Euler nous le démontrerons d'abord à cause de sa grande importance.

66 CHAP. III. — DES ( 0NGR1 BNCBS.

Théorème de Fermât. — p étant un nombre premier et a un nombre non divisible par p, <>/></

aP ' — i ■■ -- <> ( mod p ■

En effet, considérons les nombres

(u) a . > h . 3 a, .... i /< — i la .

ils sont congrus aux nombres

pris dans un certain ordre < n" 103).

Donc le produit tics nombres i î i) csl congru au produit des nombres (12), c'est-à-dire que