Remarque. — On peutdireque l'on a

ai' — n = o (mod j y//c/ que soit a.

En effet, aP — a est le produit des deux lac leurs ,/ pt r/P-1 — 1 .

Si n esl divisible par d le premier facteur est congru à zéro; si u n'est pas divisible par />, c'est le second facteur qui est congru à zéro, d'après le théorème de Fermât. Dans tous les cas, le produit est congru à zéro.

119. iutre démonstration du théorème de Fermât. — Vu l'importance du théorème de Fermai, nous allons en donner une autre démonstration. Elle s'appuie sur ce fait que dans la formule (jui donne la puissance //"'" 'd'un polynôme

y LL^f . ,-^;V...,>

('3> { Zrf 1.2. ..a. 1.2. ..S.

si l'on suppose y; premier absolu, tous les coefficients du second membre, sauf ceux de xp, yp, . . ., uP} \'p, sont divisibles par/?.

THÉORÈMES DE FERMAT ET d'BULER. (>-

En effet, dans le coefficient '-^-jf r» Duisaue

ce coefficient est entier, tous les facteurs premiers du dénominateur se trouvent au numérateur cl disparaissent; mais aucun de ces facteurs n'est égal à p. puisque oc, [3,...,X sont plus petits que p.

Donc ces facteurs se trouvent dans le produit i .2. . .p — 1 .

l)<>nc — 3 — T est égal a un nombre entier a;

donc le coefficient en question csl égal kpg, cl il est divisible par p. Ceci posé, la formule (i3) donne donc, en supposant que jc, r, .... - soient des nombres entiers quelconques,

(x-hy : ... u + c )P — (x/>-\- yP-h-. . .-h ut> -h vi>) = o (mocl/vi,

et en supposant que ./\ r. ; 11, v soient tous égaux à un,

et soient au nombre de a.

ai' — nso ( mo<l /> 1.

ce qui csl le théorème de Fermai.

120. Théorème de Fermai généralisé par Euler. — n étant un nombre quelconque et a un nombre premier avec n, la quantité a?("' — 1 est congrue à zéro (mod /?).

Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :

Lemme. — Soient

les nombres plus pelils que n et premiers avec lui.

Considérons les produits m'ii xta, ata aï(/()a.

Je dis que ces produits divisés par n donnent comme restes, dans un certain ordre, les nombres (i4)-

En effet, aucune division ne se fait exactement, car, n étant premier avec a ne pourrait diviser %qa que s'il divisait su, ce qui est impossible, puisque ar/ csl plus petit que n.

Les restes sont d'ailleurs plus petits que //.

< il \ I'. III. — DES i 0NGR1 EHCBS.

De plus, ces restes sont premiers avec /'. car soit %qa ni } rq\

-i ii ci rq avaient nu diviseur commun, ce diviseur diA [serait xqa. Alors n et xqa ne seraient pas premiers entre eux, ce qui est impossible, puisque %q et a étant premiers avec /'. il en est de même de leur produit.

Je dis enfin que deux de- restes sont inégaux. En effet, si %qa et ava donnaient le même reste, (aq — %q) a serait divisible par n; mai-. // étant premier avec a devrait diviser a,7 — oy, ce qui est impossible puisque xq el xq- sont plus petits que lui.

Les restes étant des nombres de la suite (i4)» étant eD même nombre qu'eux et élanl différents entre eux, sont ces nombres eux-mêmes.

Ce lemme peut encore s'énoncer en disant que les nombres de la suite (i5) sont congrus ( mod n) aux nombres de la suite (i |).

121. Démonstration du théorème d'Euler. — Ceci posé, la démonstration du théorème d'Euler est la suivante, analogue à celle du théorème de Fermai :

Les nombres

étant congrus (mod/?) aux nombres

le produit des nombres de la première suite esl congru | mod // au produit des nombres de la seconde

a, y., . . . Xç ., aï " a, y.j . . . x? „ I n .

ou, en divisant les deux nombre- par a«a2. . . y.--[ni qui esl premier

avec n , il vient

ni "'= i ( mod n i.

122. Applications à la solution en nombres entiers de Véquation àx -f- by = c. — < >n peut supposer n el b premiers entre eux (n° 111). < >n a donc

— = un nombre enliei u

CONGRl 'KNCES DJ DEGRÉ QUELCONQUE A MODULE PREMIER. 69

OU

aa<t{b)-l+b(— «) = >> d 'o Ù

a[ ccfl w-1)-t- b(— cu) = c.

Donc c<z?i*,~' et — eu forment un système de solutions de l'équation proposée, et on en déduit tous les autres comme on a vu au n" 111.

g IV. — Premiers principes sur les congruences de degré quelconque à module premier.