On appelle conguence de degré r une congruence de
la forme
f{x) = o (mot! n),
f{x) étant un polynôme entier en x, à coefficients entiers et de degré r.
Remarquons d'abord que si une telle congruence admet une racine x0, elle admet aussi comme racines tous les nombres congrus à x0 (mod n) (d'après le théorème du n° 100); mais nous ne considérerons pas ces racines comme distinctes, et quand nous parlerons dune racine x0, nous voudrons parler de x0 ou de tout nombre congru à x0 (mod n).
Étudions d'abord les congruences à module premier.
12i. On dit qu'une congruence (à module premier p) est identique, ou que son premier membre est identique ment congru à zéro, lorsque tous ses coefficients sont congrus à zéro, c'est-à-dire divisibles par/j>.
On dit que deux polynômes en x sont identiquement congrus (mod p) lorsque leur différence est identiquement congrue à zéro.
Il faut remarquer ici une différence essentielle entre les congruences et les équations ordinaires de 1 Mgèbre. En Algèbre, on dit qu'un polynôme est identiquement nul, lorsque tous ses coefficients sont nuls; mais il revient au même de due qu'un polynôme est identiquement nul lorsqu'il prend une valeur nulle pour n'importe quelle valeur de x. Au contraire, on ne peut pas dire qu'un polynôme est identiquement congru à zéro (mod p) lorsqu'il prend une valeur congrue à zéro, quel que soit x.
CHAP. III. - Dl S i ONGRI l NI I 5.
< lonsidérons en effel le poh DÔme
1) après !<• théorème de Fermât, ce polynôme prend une valeur congrue à zéro | mod /- 1 pour toute valeur de .'■: h cependant ce polynôme n'a pas tous ses coefficients congrus a zéro.
Nous indiquerons une congruence identique par le signe ==.
Remarquons que si deux polynômes sont identiques algébriquement, ils soni identiquement congrus i mod p).
125. Division (mod p). - Diviser un polynôme f{x) par un polynômi uivant le module p ou plus simplement modp),
c'est trouver un potynômeQ(x) et un polynôme l> (a ), K(x) étant de degré inférieur à <p(#), tels que :
f{ ./■ ) cp( a?) Q(a?) I; - ' i mod /> i.
(Il ne s'agit, bien entendu, que de polynômes à coefficients entiers.)
Pour démontrer l'existence de Q(#) el de R (x) et, en même temps, pour les calculer, il sufïit de faire sur f{x) et o(x) les mêmes raisonnements el calculs que l'on fait en Algèbre pour la division algébrique ordinaire. ( )n peut, dans le couranl du calcul, remplacer lont coefficienl par un autre qui lui ><>i{ congru (modjo), ce ipn peul servir, par exemple, à abaisser la valeur absolue des coefficients au-dessous de />.
Le quotienl d'un terme A./'" par un terme Vxm esl \>.r'" '" , B étant le quotienl <le A par V entendu au sens du n° 105. Le module p étanl premier, ce quotienl existe toujours pourvu que V'^ o (mod p).
En particulier, on dil que le polynôme y (a?) esl div îsiblei modp) par le polynôme œ(a?) lorsque !»('./■ ) esl identiquement congru j zéro ( mod p). On a alors
i r , ç ,, i i )i , | , mod [> \.
Exempte. — Soit à diviser 5 a;3 '>./■' ■+- ■>.< ; - Sx- • .r -\- i
par .'>./ ■' + ./ •■- ~)x — ■>. (mod 7).
CON'GItUENCES DE DEGRÉ QUELCONQUE A MODULE PREMIER.
On peut disposer L'opération de la façon suivante :
— 6^-4- :r3-t- 3j:3+îx
-H iJ'3- IOT! — q>'
Pour diviser un coefficient A par un coefficient A', il suffit de
multiplier A par l'inverse de A' (mod p) [voir n" 105). Voici,
pour faciliter le calcul, le Tableau des nombres inverses deux à
deux (mod 7) :
> s= i ( mod 7).
Remarquons qu'un polynôme est toujours divisible (mod/?) par un facteur numérique ^é o.
126. Plus grand commun diviseur (mod y?) de deux polynômes. — On peut maintenant établir une théorie du plus grand commun diviseur (mod p) absolument analogue à celle de l'Algèbre. Le plus grand commun diviseur (mod/?) de deux polynômes s'obtient en divisant le premier par le second, puis le second par le reste et ainsi de suite. Nous laissons au lecteur le soin de voir que tous les raisonnements qu'on a faits en Algèbre à ce sujet peuvent se répéter ici.
De cette théorie du plus grand commun diviseur (mod />), on déduit d'ailleurs les mêmes conséquences que de celle du plus grand commun diviseur ordinaire. Nous nous contenterons d'énoncer celles dont nous allons avoir besoin.
127. i° Tout diviseur commun (mod p) de deux polynômes est un diviseur (mod p) de leur plus grand commun diviseur (mod p);
72 «Il kP. III. Dl S ' ONGBI ENCIS.
- Quand on multiplie deux polynômes /><ir un troisième, leur plus grand commun diviseur \ vaodp)est multiplié par ce troisième :
I ■ Quand on divise deux polynômes par un diviseur commun (mod/?), leur plus grand commun diviseur (mod/?) est divisé | mod/? i par ce troisième;
4° Quand on divise (mod p I deux polynômes par leur plus grand commun diviseur i mod p . les quotients obtenus ont pour plus grand commun diviseur un nombre. < )n dit qu'ils sonlpremiers entre eux (mod /< :
5° Quand un polynôme divise (médp)le produit de deux autres, et qu'il est premier \ mod p > avec l'un d'cu.r. il divise Vautre | mod p);
6° Quand un polynôme est premier (mod p) avec plusieurs autres, il est premier avec leur produit ;
-" Quand deux polynômes sont premiers entre eux (mod />), deux puissances quelconques de ces polynômes sont premières entre elles;
8° Quand un polynôme est divisible (mod p) par plusieurs autres polynômes premiers entre eue deux à deux | mod />), il est divisible par leur produit .
La démonstration de ces théorèmes esl identique à celle qu'on donne dans la théorie de la divisibilité ordinaire des polynômes, ou dans celle des nombres entiers (').
