CONGRUENCES DE DEGRE QUELCONQUE A MODULE PREMIER

En effet, divisons (mocl p)f(-c) par x — a. Le reslc V est

indépendant de x.

f\ a?)= (./■ — a)Q(x)-h A (mod p).

Remplaçons dans celle identité x par a, il vient

ii \ m 1 1 1 1 ( I p ) ; donc

f(x) = (# — a) Q(#) ' iikkI // 1.

ce qui prouve quey"(.r) est divisible (mod/?) par ./• — a. Quanl à la réciproque, elle est évidente.

129. Racines multiples. — On dit que «est racine multiple d'ordre x de la congruence f(x) = o (mod/?), lorsque le pnl\ n<mici/(^r) est divisible (mod/?) par (x — a)* et ne l'est pas

par (x — «)a+l.

130. Théorème. — Si a, b, c, . . . , l sont des racines incongrues deux à deux, d'ordres a, (U, y, . . . , \ de multiplicité d'une congruence f(x) = o (mod p), /(x) est divisible (mod p) par le produit (x — a)a(x — b )P. . . ( x — /)x.

En effet f(x) est divisible (mod/?) séparément par (x — a |a, (x — 6)P, . . . , (x — /)*; or remarquons d'abord que les poly- QÔm s x — a, x — b, . . . , x — / sont premiers entre cu\ deux à deux (mod/?). En effet, un diviseur commun (mod/?) de x — a ni x — b, par exemple, doit diviser leur dilïerencc a — b, qui est un nombre non congru à zéro (mod/?). Ce diviseur commun ne peut donc èlre qu'un diviseur numérique.

Les polynômes x — a, x — b, . . . , x — / étant premiers entre eux (mod/?) deux à deux, il en est de même de leurs puissances quelconques.

f(x) étant divisible (mod /?) par les polynômes (x — a)a, {x — 6)?, . . . , (x — iy~ qui sont premiers entre eux deux à deux, l'est aussi par leur produit.