Remarque. — On peut énoncer ce résultat en disant que
191. Maintenant, passons au dernier cas, celui où a est un nombre premier impair-. Le nombre p étant lui-même supposé un nombre premier impair, pour plus de symétrie * ï : 1 1 1 — l<> notations, remplaçons la lettre a par la lettre y- La solution du problème repose sur le théorème suivant, dit loi de réciprocité '
Ce théorème célèbre était connu d'Euler, mais Legendre, le premier, I'
132 CHÂP. I\ . RESTBS QUADRATIQUES. CONGRUENCES Dl SECOND DEGRÉ.
Loi de réciprocité. - p et 7 étant des nombres premiers impairs différents, on <<
p-iq l
ou encore : Les symboles [ — ) et ( I sont égaux, si l'un <m
moins des deux nombres /> ci 7 est 'le l<i forme \U i. Ces symboles sont de signes contraires, si les deux nombres /> et 7 sont, ions les deux, de la forme \h — 1.
En effet, /> »i 7 étant différents, supposons, pour fixer les idées, 7 />.
Pour trouver la valeur de ( - ) il faut diviser par 7 les nombres
Soient
«Xi Pti
cj — 1 — -P-
les restes minima de ces divisions; :xt,a2 'J-; étanl les restes
positifs, — [j(, — [j2. .... - (L les restes négatifs. On a
De même, pour trouver f — \ il faut diviser par /> les nombres
Soient
Yn Y--
Yvi - °i> — o2,
énoncé explicitement, el en a tenté une démonstration. La dé nstration de
Legendre est incomplète. La loi de réciprocité a été démontrée pour la première l'ois par Gauss, qui en a donné six démonstrations. Depuis de nouvelles ont été
données par Lejeune-Dirichlet, Kr icker, etc. Celles que is donnons ici
sont duesj la première au pasteur Zeller, la seconde à Kronecker. Ce sont les l>lii-i simpli :s que nous connaissions.
les restes minima de ces divisions; y(, y2 yv étant positifs,
— o, , — o-2 — &p étant négatifs. On a
On a donc
Ceci posé, considérons les nombres (3. Ils sont pins grands que o et ne dépassent pas — Divisons-les en deux catégories :
i° Ceux qui ne dépassent pas
2° Ceux qui sont plus grands que
Je dis que ceux qui ne dépassent pas — - sont identiques
aux nombres y, et que par suite leur nombre est v. En effet, soit hp un nombre de la suite (4) donnant le reste — |ï$, tel que fi
ne dépasse pas — — • On a
hp = kq — p, d'où
(7) kq=hp + î.
Or on a
Ct
On déduit facilement de ces deux égalités, et de l'égalité (7 1, o</. iS. "/' E=l
iq -KJ
ou
I j nombre /. étant entier, ces inégalités reviennent à
i | | • il vl'. 11. RESTES QUADRATIQUES. CONGRUENCES Dl SECOND DBGBÉ.
Donc / 7 esl un nombre de la suite i 5 . el puisque (3 ue <l < -passe pas - ' i l'égalité i - montre que ce nombre kg donne comme
reste minimum [5. Ce Dombre (3 est donc égal à un nombre y.
Réciproquement, soit kg un nombre de la suite (5) donnant
un reste minimum positif y, on démontre de la même faç [u il
\ ;i un nombre ///> de la suite | j I qui donne un reste minimum négati t' égal j
Les nombres (3 qui ne dépassent pas ' ■ étant identiques aux nombres y, leur nombre esl égal àv. Si donc nous appelons a le nombre des [j cpii dépassent <>n aura
Par suite l'égalité (6) devient
Mais
Do m
Reste à évaluer o-, c'est-à-dire /e nombre de termes de la suite | j i y///; divisés />>//</. donnent un reste minimum négatif,
supérieur en valeur absolue à • Plus simplement, il suflii
d'évaluer la parité de -y.
Soil ni.j> un terme jouissant de la propriété qu'on vient de dire; je dis que le terme
fouit de la même propriété.
En effet, -oit
on en déduil
mp=rq-î r — ');
LOI DE RÉCIPROCITÉ. i (5
Pour démontrer ce que nous avons en vue, en ce moment, il suffil de faire \ oir que
esl supérieur a • el ne dépasse pas-
< )r, par hypothèse,
Donc on â
P^9 Hzzl /' ' '/ 3 /' ■ '/ P — !
DU
ce qui peut s'écrire (en remarquant que tous L -s termes de ces inégalités sont des nombres entiers 1
Pj~zl - ILrJL g ijzl .
C est ce que nous voulions démontrer.
Puisqu'à tout terme de la série 1 4 1 jouissant de la propriété en question en correspond un autre jouissant de la même propriété, le nombre 7 de ces termes est impair ou pair, suivant qu il v a un terme é^al à son correspondant, ou non. 11 ne reste donc plus qu à voir s il y a un terme égal à son correspondant.
Or écrivons que le terme mp est égal à son correspondant. Il \ ienl
Nous distinguerons deux cas, suivant que q est de la forme \ h — 1
ou (le la forme \ h 1 .
i° Si q r.s/ de la/orme \h — 1 , la valeur de m n'esl pas entière. Donc il n'y a pas de terme de la série qui se corresponde à lui-
I2G CHAP. IV. — BESTES QUADRATIQUES. COXGRUEXCES Dl SECOND DEGRÉ.
même. Donc 9 esl pair. Donc l'égalité 8 l se réduit à Donc, si de plus /> est de la forme j // -■- i ,
( ) et ( ) """' égaux
si, au contraire, p est de la forme 4 h — i,
' ) el ( — ) sont de signes contraires.
q) \pl
2° Si, maintenant, q esl de I" Jointe j // \- i . la valeur m = — ,—
est entière. -Mais il reste à voir si le terme mp répondant à cette \ aleur de ///. à savoir le ternir
donne réellement un reste minimum négatif, plus grand que — ■
Or on a
Si p est de la forme \h - - i , les nombres ■ — et ( - — j- J q sont entiers.
D'ailleurs l- /' I q esl positif et plus petit que — • Donc
l'égalité (10) montre que la division du terme- /'. par </.
donne comme reste minimum le nombre imsiiif ( -, — -) </.
Donc il n'y a pas de terme de la série (4) jouissant de la propriété en question. Donc 9 esl pair.
Par siiiie
I )onc ( — ) et ( ) sont égaux.
Mais si p est de la forme \h - 1, écrivons l'égalité (10) sous la
forme
I bailleurs !<• nombre
est aégatif, et de valeur absolue plus grande que — — ■ et au j >I u s
égale a — •
I ) 1 1 1 1 c la division du terme %— — p, par q, donne comme reste
minimum un nombre négatif supérieur en valeur absolue à — ,
et ee terme est égal à celui que nous avons appelé plus baut son correspondant. Done 7 est impair: donc
Donc ( — ) et (—) sont égaux.
En résumé, il n'y a qu'un eas dans lequel (—) et (—) soient de
signes contraires : c'est lorsque p et q sont tous les deux de la forme \h — i .
La loi de réciprocité est donc démontrée.
192. Seconde démonstration de la loi de réciprocité. — La démonstration précédente est due au pasteur Zeller ('). En voici une autre, non pas plus simple, mais plus concise, due à Kronecker (2). D'autre part, celte démonstration de Kronecker, est, tout au moins à première vue, beaucoup plus artificielle que la précédente.
On a
Monatsberichte der Berliner Akademie, 1872. Sitzungsberichte, 7 février 1884; t. II, 12 juin
i >X CHAP. I\. RESTES QUADRATIQUES. COKGRUENCES Dl SECOND DEGRÉ.
: étanl le nombre de restes minima négatifs, fournis par les divi >i« )ii> par/) des termes de la suite
Soit lu/ un terme «I»' cette suite. Le reste minimum correspondant csi négatif, s'il existe un nombre entier /. , tel que
//'/ , Il II I
et réciproquement. D'ailleurs, si le nombre /. existe, il est unique. Les deux inégalités (i i) peuvent être remplacées par la seule
inégalité
OU
Comme nous l'avons déjà dit, il \ a au plus un nombre entier / satisfaisant à cette inégalité. Ce nombre est d'ailleurs au plus égal
à - > car si Ion remplace /. par un nombre entier supérieur
à celte quantité, comme d'ailleurs h est au plus égal à • il est
. . , . . . r li I ;h i /«• , .
visible (ine les ucuv laeleurs el i sont ne^atils.
et que, par suite, leur produit est positif.
Si donc dans l'expression (12) on l'ail successivement
el que l'on fasse le produit des résultats obtenus, on obtient un résultai
• I ■ 1 1 est positif ou négatif, suivant que le reste minimum fourni par la division de If/ par/? est lui-même positif ou négatif.
LOI DE BÉCIPROCITÉ. 129
Transformons celle expression. Pour cela remarquons < | u« le
, r II I /»' 1 ,
second lacleur 1 — neul s ucruv
Quand /, prend les valeurs 1,2,.. , — — > le nombre
prend les mêmes valeurs en sens inverse. On a donc
n î-ïF-f =n
x/' '^7 7/ Ai \/> 7
ou, | > I us simplement,
J X \/> iq q / A. JL \ p q 1
De sorle que l'expression (i3) peut s'écrire
Telle est la nouvelle forme de l'expression, qui est positive ou négative, suivant que le reste minimum delà division de hq par p est lui-même positif ou négatif.
Si maintenant dans cette expression on fait successivemenl
el qu'on multiplie les résultats obtenus, on obtient un produit qui est du signe de ( | • Ce produil esl
/. I Al
3o CBAP. IV. RESTES Q1 LDRATIQUES. CONGRUBNCES DL" SECOND DB6RE.
On verrait de même que I ) esl du signe de
n u(HKH-i
Al / l
Mais, dans ce dernier produit, on peu! intervertir l'ordre des
signes I I , ci, de plus, on peu! faire un changement de notations
en remplaçant // par k el k par A.
Ce produit s'écrit alors
n ii(H)(H-;)
Sous cette forme, on voit que les facteurs des produits (i {) et
- k \ -i • • / ■ -i P — ' 7 — 'l m.)) sont identiques au signe près. Lomme il \ a- •- de
ces facteurs, l'un des produits est égal à l'autre multiplié pai
( — i) - *' . On a donc liicu
ou, ce qui revient au même,
ce qu'il fallait démonl rer
193. application au second problème du n" 177. — Le second problème énoncé au n " 177, à savoir :
Étant donne le nombre a, r/uels sont les modules premiers dont a est reste quadratique?
peut être maintenant considéré comme résolu. JNous allons le montrer sur des exemples.
/•.'.temple I. — Soit a = — :>..
La valeur de ( — ' -) dépend du reste de la division de p par 4- La valeur de ( - ) dépend du reste de la division de p par 8.
Donc la valeur de ( — : ) ne dépend que du reste de la division
de p par le plus petit commun multiple de 4 et de 8 (n° 115), c'est-à-dire par 8.
Si p = S h -+- i ,
Si p = S h — i ,
Si p = Sk-\- ô,
pi <p.'=-'
Si /; : .8// — 3,
(t)- ■■ (?)— • (VJ— ■
( — 2) est donc reste quadratique des nombres premiers impairs de la forme 8/2 1 ou 8A + 3; il est non-reste des nombres de la forme 8 A — 1 et 8 h — 3.
Exemple II : a = 3. — Le nombre 3 esl de la forme \h — 1. I >onc on a, si p = \h ■+• 1,
1 32 CIIAP. IV. — RESTES QUADRATIQUES. CONGRUBNCES Dl SECOND DEGRÉ.
Quanl à la valeur de (t)' c'u' dépend du reste de la division
de p par ■ >.
Si ce reste esl i ,
Si ce resle est a t
Donc, en définitive, la valeur du symbole ( -Jne dépend que du reste de la division de /> par 1 2, et l'on forme facilement le Tableau
suivant :
3 est donc resle quadratique des nombres de la forme 1 a // ± 1 , il esl non-reste des nombres de la forme 1 :>. h 5.
Exemple III : a 36o. — Décomposons 36o en facteurs premiers
On peut d'abord supprimer, dans 36o, les facteurs carrés 22.32. En effel
Mais '-'.)-' étanl un carré, on a évidemmenl
Donc
La valeur de ( ) dépend du reste de la division de p par 8.
.') étant de la forme \h -f- 1 , on a
La valeur de ( 4 ] dépend du reste de la division de p par 5.
Donc la valeur de ( — ] = (- — ) ne dépend que du reste de la division de p par \o.
p — \oh± i,
/3Go\ /lo\ \ P )~~\P )~
p = \oh ± 3,
// — \oh± -,
p = 4oA± 9,
(fi- ■•
^? = 4oA± 1 1,
/> = fohdzij,
p = 4oA±ig,
36o ou, ce qui revient au même, io est reste quadratique des nombres premiers de la forme 4°^ — '? 4o/i±3, 4o/i±c), 4o/i=ti3; il est non-reste des nombres de la forme /\oh± 7, {oh ± 1 1, 4oh ± 17, 4© /« ± 19.
On voit que la méthode est générale et elle conduit au théorème suivant :
194. Théorème. — Le nombre a étant supposé débarrassé de ses facteurs premiers d'exposant pair, autrement dit le nombre a riant supposé non divisible par un carré différent de 1 , les nombres premiers impairs dont a est reste quadratique appartiennent à des progressions arithmétiques de raison a ou f\a.
En effet : i° supposons que a soit positif et de la forme
