PI \P

(/ et /• étant de la forme \h — i

si p est «le la forme Lh -+- i,

. } si /> est de la forme \ h — i .

?)-fê)

dans les deux cas Donc

dans les deux cas.

Or ( — )> (-)•• (-) dépendent respectivement des restes .1rs divisions de p par ///, q} r.

Donc ( - ) ne dépend que du reste de la division de p par le plupetit commun multiple de m. </, r (n° 115), lequel est ici leur produit ou <<■

Donc les nombres premiers impairs dont a est reste quadratique appartiennent à des progressions arithmétiques de raison a.

•2° Supposons mainteuant a positif et de la forme [h — î, ce

LOI DE RÉCIPROCITÉ. l35

qui entraîne que les facteurs premiers de a sont impairs et qu'il y en a un nombre impair de la forme \h — i .

Soit, par exemple.

a = ni/jr.

m étant supposé de la forme \h — i , q et /• de la forme i h -+- i . On voit facilement que

l>) ~ \m) \q) \ r >i p est de la forme \h + i . et

si /) est de la forme \ k — i .

Donc ( - I ne dépend que du reste de la division de p par le plus

petit commun multiple des nombres /??, q, r, f, lequel est leur produit \a.

Donc les nombres premiers impairs, dont a est reste quadratique, appartiennent à des progressions arithmétiques de raison \a.

3° Soit a positif pair et de ici forme ?.(ih + i).

Soit, par exemple,

a = i mqi\

m de la forme 4 h -+■ ' , </ et /■ de la forme \ h — 1 . •

d'où l'on lire facilement, comme plus haut,

— ) dépend du reste de la division de p par 8. (')'()'() dépendent des restes des divisions de /' par /»,

Donc ( - j ne dépend que du reste de la division de/? par Smqr

ou l\a.

1 36 CHAP. IV. — RESTES QUADRATIQUES. COKGRDBNCBS l»l SECOND DEGRÉ.

Donc les Dombres premiers impairs donl a esl reste quadratique apparliennenl à des progressions arithmétiques de raison \a.

On examine de même tous les autres cas \<i positif pair de la forme 2| \h — i . <>u a uégal if].

195. Calcul de l'expression (-) quand p est un grand nombre. — La loi de réciprocité serl aussi à simplifier le calcul de l'expression ( - ) quand p esl un grand nombre.

Exemple. — Calculer ( On a

(s)-m-tï)-

Donc

§ III. — Généralisation du symbole de Legendre. Symbole de Jacobi.

196. On peut simplifier quelques-uns des résultats précédents par une généralisation du symbole de Legendre due à Jacobi.

Le symbole de Legendre ( - ) n'a de sens que si /> est un nombre premier impair.

Supposons maintenantque /> soit un nombre impair quelconque el que a soil un nombre premier avec />. Le lemme du n° 185 subsiste, celui du n° 186 ne subsiste pas. Mais l'égalité démontrée dans ce lemme

'/. étant le nombre des restes minima négatifs fournis par les divi-

SYMBOLE DE JACOBI. I 3j

sions des nombres a, :>.<-/, . . , — — a par /?, peut alors servir de définition au symbole ( — )•

De celte définition, on déduit, comme dans le cas de /> premier : i" Les théorèmes exprimés par les égalités

2" La loi de réciprocité

!" £,e théorème exprimé par l'égalité

.PI \P subsiste aussi.

Pour le démontrer, faisons d'abord les deux remarques évidentes suivantes :

i" Le symbole i —) est du même signe que le produit des

restes minima négatifs fournis par les divisions des nombres

n , 2 n , *— — n par p .

2° Deux nombres égaux et de signes contraires donnent des restes minima égaux et de signes contraires.

Ceci posé, soient

les restes minima fournis par les nombres

a,, a2,. . ., a-, clan tics restes minima positifs, — |jn — jo — (âj,

1rs négatifs, de sorte que

[38 CBAP. IV. — RESTES QUADRATIQUES. CORGRUERCES Dl SECOND DBGRÉ.

Pour calculer (--n il faul d'abord chercher les restes minima

fournis par

"H. <mi, ,nn ' un .

Mai> pour celi peut, dans ces produits, remplacer les fac-

teurs <i . ■>.</ a par leurs restes mini ma. < >n trouve ainsi

la suilc (à l'ordre près)

(16) xt a', *■>«', .... y;<i: — pia' — p«a'.

Si l'on compare cette suilc à la suite

( 17 1 11 . xi a

qui servirait à calculer ( — ), les nombres

»i, a, ax, 3,, 3, ;ï;,

étant identiques, ù l'ordre près, aux nombres 1. 2, ..., — — ,

le produit des termes de la suite (16) est égal an produit des termes de la suite (17) multiplié par ( — 1)^. Donc

197. Enfin, voici une dernière propriété exprimée par l'égalité suivante

Pour démontrer cette propriété dans sa généralité, il suffil évidemment de la déi itrer pour deux nombres /> el p'

SYMBOLE T)K IAÇOBI. l3o,

Or, on a, d'après la loi de réciprocité,

/ \ / PP'—i " - '

D'autre part,

L'égalité à vérifier devient donc, si Ton y remplace f — r )' ( - ) et ( —, j par leurs valeurs tirées des égalités (18), (19), (20), puis (P^— \ par sa valeur tirée de l'égalité (21),

Or les nombres <?,/>, />' étant tous les trois impairs, cette égalité est évidente.

198. En particulier, supposons qu'un nombre P soit décomposé en facteurs premiers sous la forme

P =pp'p" ..., on aura

( - )' (—/)' ' • * sont alors des symboles de Legendre. De sorte que cette égalité peut servir de définition au symbole de .lacobi (£)(•).

(') C'est d'ailleurs cette définition <|ur Jacobi a donnée. La définition do a' 196 est duc à Scherine et Kronecker.

I/Jo CHU'. I\. — RESTES QUADRATIQUES. COlfGlUBKCES Dl SECOND DEGRÉ.

On déduil aussi <!<• cette égalité la conséquence suivante : Pour qu'un nombre a soit reste quadratique d'un nombre impairV,

premier avec lui, il faut <///<■ f ' ) soit égal à -\. En effet,

pour que '/ -'>ii reste quadratique de P, il faut et il suffit qu'il soit

i este quadratique <!<• /-. /''. p"

Il faul donc que l'on ail

\hiis la condition ( = ] = i n'est pas suffisante, car elle n'entraîne pas les conditions (->? ).

199. , application. — Comme première application du symbole de Jacoln. on peut simplifier le calcul du n" 195. On écrira

V997/' \365; \mj \267J \267J U67A267

parce que 367 est de la l'orme 8 h i :

parce que i(i est un carré.

Donc

200. Le théorème «lu q° 194 el sa démonstration s'étendent immédiatement. Le nombre a étant supposé non divisible par un carré différent de 1, les nombres impairs p, tels que