II. Résoudre In congruence

x-~ [2 (mod 1 1 J ).

( !el !'• congruence donne

2 Ind.r j 71 1 mod 1 12).

congruence impossible, puisque 2 et 110 sont pairs, landis que 71 esl impair. Donc la congruence proposée esl elle-même impossible.

1 42 CHAP.IT. RESTES QUADRATIQUES. i.nM.iii i:m:i:s in SECOND DEGRÉ.

!^0± Résolution <!<• I<i congruence générale du second degré. — Je suppose le module premier, puisque le cas général se ramène à celui-là.

Si le module égale ■>.. La solution esl immédiate, puisqu'on u'a à essayer que les valeurs o et i pour x.

Supposons donc le module impair. <)n peu! alors supposer le

coefficienl de x pair, car sinon on multiplierait la congruence

par 'i. Soil dune

,/./■- - A./- c - i> : mod p I

cette congruence.

( )n doit supposer a^o (mod/?), car sinon la congruence

sérail du premier degré. Multiplions alors la congruence par a,

elle devienl

>i -./■-■ labx • ac=o (mot!/?)

ou

( a X H l> )- b- — ac ( mod p ).

Pour que la congruence soil possible, il l'aul doue que l>- — ac soil reste quadratique de p. Celle condition remplie, on trouve pour a x -4- b deux valeurs ["tic seule, si h'1 — ac o (mod/?)].

Soil a une de ces valeurs, il reste à résoudre la congruence du

premier degré

ax -+■ b es x ( mody I,

qui a une solution, puisque a n'est pas congru à zéro (mod/?).

Exemple. Soil La congruence

')./■- 7a;-f-6 o (mod 8g i. Celte congruence s'écrit

ou

looa?2 — i \ox i m) = o

ou

(ioa? — 7)8 = — 71.

On trouve pour \ox ~ les deux valeurs i \ et t5. Reste à résoudre le- deux congruences

RÉSOLUTION DE LA CONGRUENCE 1)1 DEUXIÈME DEGRÉ A UNE INCONNUE. l'|3

qui donnenl

(mod89),

(le sont les deux racines de la congruence proposée.

203. Exemple de résolution (/'une congruence du second degré à module composé. — Soit à résoudre la congruern :e

7a;2 — 1 1 x -h 4o = o ( mod 60).

Nous avons à résoudre les congruences

7a?2 — 1 1 x -t- 4o = o ( mod 1 ),

jx2 — 1 1 2? -r 4o = o (mod i 1,

7a:2 — 1 1 x -+- 4o = o (mod 5) 11 . plus simplement,

3#2 — 3a? = 0 (mod I).

x'2 — ix-t-i = o (mod 3), •i.x- — x =s o ( mod j ).

La première admet deux solutions : o et 1, La seconde » une solution : 1,

La troisième » deux solutions : o et 3.

11 y a donc quatre solutions de la congruence proposée, à savoir 1 ne solution congrue à o ( mod 4), à 1 (mod 3), à 0 (mod 5), soit x = 40

( mod 60