CHAPITRE
< I. - Définition des nombres incommensurables. Opérations sur ces nombres.
^Ui. ( )n a vu, dans les Chapitres précédents, comment L'usag< des nombres fractionnaires facilite l'étude des nombres entiers.
Le nombre fractionnaire n'est (railleurs qu'un symbole représentatif du système de deux nombres entiers.
Dans ces conditions, il vient naturellement à l'esprit d'introduire dans les calculs des nombres représentatifs d'un système de trois nombres entiers, ou d'un système <!<■ quatre nombres entiers et ainsi de suite. Nous trouverons plus loin de tels nombres, sous le nom de nombres algébriques du second, du troisième, etc. degré. Mais ces nombres ne jouissent pas. par rapport aux opérations fondamentales, «le propriétés aussi simples que les nombres entiers ou fractionnaires. Il> ne se reproduisent pas par ces opérations, c'est-à-dire que la somme ou le produit de deux nombres algébriques du second degré, par exemple, n'est pas, en général, un nombre algébrique du second degré, mais bien un nombre algébrique du quatrième degré.
Nous s trouvons donc amenés à introduire à la fois les
nombres algébriques de tous les degrés.
Mais ces nombres ne sont eux-mêmes qu'un cas particulier de nombres dépendant d'une suite infinie de nombres entiers el qu'on appelle nombres incommensurables, par opposition aux nombres entiers el fractionnaires, dont l'ensemble forme ce que
['on appelle les Domines COmmenSUrables. Il n'est «I ailleurs pas
pins compliqué d'expliquer le calcul de ces nombres incommensurables en généra] que celui des nombres algébriques. Ce sonl
donc les nombres incommensurables dont nous allons nous occuper maintenant .
20o. Montrons d'abord comment un nombre commensurable peut, lui aussi, rire considéré comme dépendant d'une suite infime île nombres entiers.
Il sullii de considérer les \aleurs approchées de ce nombre successivement à une unité, un dixième, un centième, etc. près par défaut. Les numérateurs et les dénominateurs de ces valeurs approchées son! parfaitemenl déterminés quand on connaît le nombre qui leur a donné naissance, et réciproquement. On a donc bien là une suite indéfinie de nombres entiers, dont la connaissance est équivalente à celle du nombre commensurable proposé.
Au lieu des valeurs approchées par défaut, on pourrait considérer les valeurs approchées par excès.
Vu lieu des valeurs approchées à un dixième, un centième, etc.
près, on pourrait en considérer d'autres : les valeurs à — » — > • • |>rès. par exemple; ou, plus généralement, les valeurs à — > A>
'—r,-) ••• près, par défaut ou par excès, — > —,, -^, ••• étant une 7 7 7 7
suite déterminée de nombres tendant vers zéro.
Comme tout nombre commensurable peut être considéré comme une valeur approchée à une certaine approximation de tout autre ('), ce qui précède revient à ce fait évident que, lorsqu'un nombre commensurable est déterminé, tous les nombres commensurables plus petits nue lui, et tous les nombres commensurables plus grands le sont aussi, et réciproquement.
C'est cette idée qui va servir dans la définition des nombre-, incommensurable^.
20G. Définition. — ■ Supposons qu'une certaine règle permette de parin i^er la totalité des nombres commensurables, positifs et négatifs, en deux classes, de telle façon que n'importe quel nombre de la première classe soit plus petit ////<• n'importe
quel nombre de la seconde.
I ' ) \ condition que le pr< mil r nombre soil plus grand que la moitié du second. C. io
I i.ii\ i ,i~ se présentent :
i .Si , parmi les nombres commensurables de la première < lassi . il en existe un plus grand que tous le^ autres, ou si, parmi les nombres commensurables de la seconde «I, i~-e. il en existe un plus petil que tous les autres, <>n peul dire que la classification en question définit ce nombre comme nsurab le. Il est d'ailleurs évidenl que ces deux circonstances ne peuvent se présenter .1 la
luis.
Si aucune des deux circonstances pi écédentes ne se présente, on peut dire < 1 1 1< - la classification définit un nombre incommensurable.
Les deux cas peuvenl effectivemenl se présenter. Pour réaliser le premier, il suffi I de choisir à l'avance un nombre commensurable > de raneer tous les nombres commensurables inférieurs
à dans la première classe, tous les nombres commensurables
supérieurs dans la seconde classe, el enfin de placer dans la
classe que 1 on \ eut.
Pour réaliser le second cas, soil ni) nombre commensurable
positif, non carré parfail ; rangeons dans la première classe tous les nombres commensurables positifs donl !<• carré esl inférieur
à — ; dans la seconde classe, tous ceux dont le carré est supérieur
à • Il n \ ;i |>;i^. d.ms la première classe, de nombre supérieur
à tous les autres. En effet, soit a un nombre quelconque de la
première classe : on a
Mais il existe (nu 64) des nombres commensurables dont le carré diffère par défaut de — d'aussi peu que Ton veut; on peul
doue trouver un nombre commensurable positif a' tel que <i'- <c -
i i par conséquent a' appartiendra à la première classe i, mais tel
DÉFINITION DES NOMBRES INCOMMENSURABLES. l/J7
Or celle inégalité entraîne
Donc il existe dans la première classe des nombres plus grands
<|UC <l.
On verrai l de même qu'il n'y a pas dans la seconde classe de nombre plus pelil que tous les autres.
Donc la classification en queslion définil un nombre incommensurable.
207. Egalité. Inégalité. — Deux nombres (commensurables «m incommensurables) sont égaux lorsque les classes qui les définissent sont identiques. Ceci est évidemment vrai pour les nombres commensurables ; et c'est une définition pour les nombres incommensurables.
Un nombre a esl plus petit qu'un nombre b, lorsqu'il y a des nombres commensurables appartenant à la fois à la classe supérieure à a et à la classe inférieure à b; ceci est encore une définition pour les nombres incommensurables, tandis que c'est une propriété, d'ailleurs à peu près évidente, pour les nombres commensurables.
Les nombres plus petits que o sont dits négatifs.
On voit facilement que les égalités a=ô, & = c entraînent l'égalité a = c.
Les inégalités a >• b et b >> c entraînent l'inégalité a > c.
En particulier les nombres commensurables faisant partie de la «lasse inférieure à un nombre incommensurable sont plus petits que lui; ceux qui font partie de la classe supérieure sont plus grands que lui.
208. Montrons, maintenant, comment on peut faire dépendre les nombres incommensurables d'une suite infinie de nombres entiers, ainsi qu'on l'a dit plus liant (n°205). On y arrive, comme pour les nombres commensurables par la considération des valeurs approchées.
209. I aleur approchée 'l'un nombre incommensurable. — On appelle valeur approchée d'un nombre incommensurable >>.
à— près ('- étant un nombre commensurableh le plus
grand multiple de — qui soit contenu dans ce nombre. •I
Autrement dit, trouver cette valeur, c'est trouver un nombre
entier m tel que
mp ( m -f- i >/>
\utremcnt dit encore, c'est trouver un nombre entier m, tel
(lue — — soit dans la classe inférieure à a, et dans la classe
supérieure.
Plus — est petit, plus l'approximation est dite grande.
11 est bien évident que lorsqu'un nombre est déterminé, par la division des nombres commensurables en deux classes, ses valeurs approchées à n'importe quelle approximation sont connues. Réciproquement :
Un nombre a est déterminé lorsqu'on connaît sa valeur approchée à une approximation aussi grande que l'on veut.
En effet, soit - •> la valeur approchée de a à moins de — près.
On a
Soit <7, un nombre commensurable. Si l'on a au>-.i ^<ai<(» + .)|,
quelque petit que soit —> cela veut dire que a = at .
Donc a est alors déterminé.
Si les inégalités 0 ) n'onl pas lieu pour toutes les valeurs de — . c'est qu'il y aura des valeurs de suffisamment petites pour que a ,
soit en dehors de L'intervalle de- à — • On peut donc
décider si a, est plus grand ou plus petit que a. On a doue une
OPÉRATIONS SIR LES NOMBRES IPiCOMMENSl RABLES. I ^9
classification des nombres commensurables en deux classes qui définit a.
210. Valeurs à ' • 7V' ïoo> ïôVïï> ■•■ Pr'i's- — On définil en général un nombre, en donnant ses valeurs à une unité, un dixième, un centième, etc. près; c'est ce qu'on appelle, son développement en décimales.
"2[[. Définition des opérations effectuées sur les nombres incommensurables. Addition. — Soient deux nombres incommensurables ou non, a et b.
Rangeons dans une première classe C les nombres commensurables qui sont la somme d'un nombre commensurable plus petit que a et d'un nombre commensurable plus petit que b ; dans une seconde classe G' les nombres commensurables qui sont la somme d'un nombre commensurable plus grand que a et d'un nombre commensurable plus grand que b. Il est bien évident que tout nombre de la classe C est inférieur à tout nombre de la classe C.
Il est, de plus, évident qu'il n'y a pas dans la première classe C de nombre plus grand que tous les autres, ni dans la seconde C de nombre plus petit que tous les autres.
Si donc, de plus, aucun nombre commensurable n'échappe à cette classification, cette classification définit un nombre incommensurable c, qui, par définition, est la somme de a et de b.
Mais il peut se faire qu'un nombre commensurable échappe à cette classification. Je dis, en tout cas, qu'il n'y en a qu'un. En effet, supposons qu'il y en ait deux, a et [i (a < (3). On voit facilement que, a n'étant pas dans la classe C, il en est de même de tout nombre commensurable supérieur; de même, (3 n'étant pas dans la classe C, il en est de même de tout nombre commensurable inférieur. Donc tous les nombres commensurables compris entre a et ^ échapperaient à la classification, et par suite un nombre quelconque de la classe C différerait d'un nombre quelconque de la classe C d'au moins jj — a. Mais cela n'est pas.
En effet, on peut prendre un nombre commensurable inférieur
à a et un nombre commensurable supérieur à a, qui diffèrent entre
8 — x eux de moins de '-• Ensuite on peut prendre un nombre com-
100 ( It Kl*. \. - II- M".|..l!|> IMi.MMl.N-UUBI.l-.
mensurable inférieur à // el un nombre commensurable supérieui
qui diffèrent également de moins de —r — • On en déduit un
nombre de la classe C et un nombre de la classe <è qui diffèrenl de moins de 'i - a.
Dans le cas <>ù il existe effectivement un nombre commensurable r, n'appartenant ni à la classe C, ni à la classe O, c'est ce nombre c qui est dit la somme de n et /<.
C'est ce dernier cas qui se présente en particulier lorsque a et b sont eux-mêmes commensurables, et il est évident que la somme ainsi définie est le même nombre que celui qu'on entendait jusqu'à maintenant sous ce nom.
La somme de plus de deux nombres a, l>. c, <l se définit comme pour les nombres commensurables. Les deux classes qui définissent cette somme peuvent s'obtenir en additionnant d'une pari les nombres commensurables inférieurs à a, A, c, d, d'autre part les nombres commensurables supérieurs. 11 en résulte évidemment que cette somme est indépendante de l'ordre des nombres que l'on ajoute.
212. Soustraction. — On appelle différence de deux nombres a, b le nombre qui, ajouté à b, reproduit a .
Pour trouver ce nombre il suffit de placer dans une classe C, les nombres commensurables obtenus en retranchant un nombre commensurable supérieur à b, d'un nombre commensurable inférieur à «; et dans une classe C les nombres commensurables obtenus en retranebant un nombre commensurable inférieur à b, d'un nombre commensurable supérieur à <i. Le lecteur démontrera facilement, comme dans le numéro précédent, que celle classification satisfait aux conditions fondamentales; et qu'il y a au plus un nombre commensurable c qui puisse \ échapper. Si (die dernière circonstance ne se présente |>:is, la classification d ('lin il un nom lue incom mensurable, sinon on peut dire quille définit c Vax tout cas, le nombre qu'elle définit est tel que tous les nombres commensurables inférieurs à lui, ajoutés aux nombres commensurables inférieurs .i b. reproduisent le- nombres incommensurables inférieurs à '/, el que les nombres commensurables supérieurs à bu, ajoutés aux nombres commensurables supérieurs a A, reproduisent les nombres
commensurables supérieurs à '/. Donc la somme de ce nomlnv el de b est égale à </■ Donc ce nombre est la différence enlre a el b. Le lecteur verra sans peine que les théorèmes fondamentaux sur L'addition et la soustraction, qui se résument dans les règles d'.iddilion et de soustraction des polynômes, s'appliquent au* uombres i mi immensurables.
213. Multiplication . — Pour définir le produit de deux facteurs a, h (supposés positifs), nous rangeons dans une premu re classe G les nombres commensurables qui sont le produit d un nombre commensurable plus petit que a par un nombre commensurable plus petit que b ; et dans une seconde classe C les nombres commensurables qui sont le produit d'un nombre commensurable [ >1 h > grand que a par un nombre commensurable plus grand que b. Le lecteur achèvera sans peine le raisonnement qui est analogue à celui que l'on a fait pour l'addition.
Dans le courant de ce raisonnement, pour démontrer qu il ne
peut y avoir deux nombres commensurables, a et J3, échappant à
la classification, on est amené à démontrer que : on peut trouver
deux nombres commensurables at,bi: respectivement inférieurs
i a et b, et deux nombres commensurables a\ , b\ respectivement
supérieurs, tels que
a\ b\ — axbi
soit plus petit qu'un nombre fi — x.
Pour cela, il suffit de remarquer qu'on peut écrire
a\ b\ — a, b\ = i a\ — at )bt - | b\ — i,)«i+ {a\ — </, H b\ — l> , I.
Pour que le premier membre soit plus petit qu'un nombre fi — x, il suffit que chacun des termes du second membre soit plus petit
que - .,'-- • H suffit pour cela, d'abord, que a\ — as et b{ — />, soient
3 — a qj — a
plus petit- respectivement que ' ., ( et '■>—' et enslIllc flue ccs deux nombres a\ — as et b\ — />, soient tous les deux plus petits
qu'un uombre dont le carré soit inférieur à *-—= — > toutes conditions
qui peuvent être réalisées.
Nous avons supposé les facteurs positifs, sinon on ferait le produit de leurs valeurs absolues et l'on suivrait la règle des signes.
Si l'un des facteurs est nul, le produit esl nul par définition. • Le produit de plusieurs facteurs a, b,cesi le nombre obtenu en multipliant a par b, puis le résultai parc, et ainsi de suite. Le lecteur démontrera facilement que ce produit est indépendant de ! ordr< des facteurs. Il verra aussi que, pour multiplier un nombre par la somme «le deux autres, il suffit de le multiplier successivement par chacun <\c- termes de la somme et d'additionner les résultats. Ces deux théorèmes permettent d'étendre aux nombres incommensurables, les règles relatives aux produits de facteurs, à la mise en facteur commun et aux produits de polynômes.
214. Division. Pour définir le quotienl d'un nombre <i par un nombre b (a et b étant supposés positifs), on range clans une première classe C les nombres commensurables qui sont le quotient d'un nombre commensurable plus petit que «, par un nombre commensurable plus grand que A: et dans une seconde classe C, les nombres commensurables qui sont le quotienl d'un nombre commensurable plus grand que <t , par un nombre incommensurable plus petit que b. Le raisonnement se fait comme dans les ca> précédents.
Dans le courant de ce raisonnement on est amené à démontrer que Ion peut trouver deux nombres commensurables «,, A, respectivement inférieurs à «et A, et deux nombres commensurables a\, b\ respectivement supérieurs tels que la quantité
'il — 5Z L
soit plus petite qu'un nombre [i — a.
Or celle quantité peut s'écrire
Mi
Soil B un nombre plus petit que 6; on peut choisir A, de façon qu'il soil plus grand que B.
Quant à b\, il est nécessairement plus grand que B. Donc la quantité précédente est plus petite que
OPÉRATIONS Si lï LES NOMBRES INCOMMENSURABLES. 1 53
Pour que celle quantité soil plus petite qu'un nombre (3 — ail suffit que le numérateur a\ b\ — a, ht soil plus petit que ((3 — a)B2 ; or nous avons vu plus haut que cela pouvait êlre réalisé.
D'ailleurs le quotient ainsi défini, multiplié par b, donne un produit égal ii a.
215. Extraction des racines. -- Pour définir la racine nimr d'un nombre a nous partageons les nombres commcnsurables en deux classes, ceux dont la puissance nieme est plus petite que r/. ceux dont la puissance nième est plus grande.
On démontre qu'aucun nombre commensurable n'échappe à cette classification, exceplé un seul, si a est un nombre commensurable puissance hième parfaite. Donc cette classification définit un nombre a. Reste à démontrer que la puissance nieme de a est égale à a. En effet, si un nombre commensurable est plus petit que a, sa puissance nième est plus petite que a. Donc, si l'on forme la division des nombres commensurables en les deux classes qu'il faut former pour définir la puissance nième de a, on retrouve Jes deux classes qui définissent a.
En particulier, on définit ainsi, dans tous les cas, la racine n1"'" d'un nombre commensurable a, ce qui n'avait pu se faire au moyen des nombres commensurables seuls (n° 56).
2lG. Nous avons donc défini les opérations fondamentales sur les nombres incommensurables ('), mais il reste à montrer comment on les réalisera effectivement. Il faut pour cela remarquer que dans la pratique on définit un nombre incommensurable par une suite indéfinie de valeurs approchées avec une approximation de plus en plus grande (n° 209). Il faut donc montrer comment, de pareilles suites relatives à certains nombres étant connues, on peut en
Nous admettons implicitement, qu'un certain nombre de théorèmes, évidents "ii démontrés pour les nombres commensurables, sont vrais aussi pour les nombres inrummciisiiialdcs.
Pour n'en citer qu'un exemple, nous admettons, dan- la démonstration du n° '.'17. le i héorème suivant :
Si des nombres sont respectivement plus petits que d'autres, la somme des premiers est plus petite que la somme des seconds.
Toutes ces démonstrations sont très simples, nous n'avons pas cru nécessaire de les donner (voir l'Introduction).
trouver il .mires relatives à la somme, à la différence, au produit, etc., de ces in. min es
Pour cela nous ferons usage des considérations suivantes :
!2I7. Définition générale de !</ limite. - - Maintenant que nous savons ce que c'est que la différence de deux nombres incommensurables, qous pouvons généraliser la définition de limite, donnée au n° Cri pour les nombres commensurables. Cette définition s'applique, mot pour mot, aux nombres incommensurables.
En particulier, si l'on calcule les valeurs d'un nombre à ,'„. -j-J-^,
jjôô, etc. près par défaut, plus généralement à — » • • ■•• par
défaut, ; — - , ■• ••• tendant vers zéro, on obtient une suite de
nombres commensurables qui tendent vers </.
218. Il faut maintenant remarquer qu'on peut généraliser le théorème du n" 201) ei dire qu'a/j nombre est déterminé quand on connaît une suite de nombres qui tendent vers lui. Cela e>i évident, carde la définition même de la limite il résulte qu'une suite de nombres ne peut tendre que vers une seule limite.
Or on a les théort mes sun aiiis :
Si des nombres tendent vers des limites, la somme <!>■ ces nombres tend vers la somme des ///nids de ces nombres.
Soient des nombres variables <■/, ù, c tend. ml vers des limites A., B, C. Je dis que a - l> -c tend vers A h B -h C. En effet, on a
Donc, pour (|uc l,i valeur absolue de la différence
\ l ; -C)-(a-hb-hc)
-mi plus petite qu'un nombre donné :. il suffit que la valeur absolue de chacune des différences \ — •'/. I» — A, C c soit plus
petite <|uc ', • Or c'est ce qui arrive <-t subsiste à partir d'un certain momenl .
I )n a un théorème et une démonstration analogues pour la différence de deux nombres.
Si des nombres tendent ras des limites, le produit de ces
nombres tend vers le produit des limites.
Il suffît évidemment de démontrer ce théorème pour un produit • le doux uombres. Or, pour cela, il suflit de remarquer que
\\) — ab = (A — a \b - i B - l> \a -+- < A - a){ II — In.
Pour que la valeur absolue du premier membre soit plus petit que z, il s ii f lï t que la valeur absolue de cliacun des termes du
second membre soit plus petite que '- ; et pour cela, enfin, il suffit
que les inégalités suivantes soient satisfaites :
|B b\<^/ZT
Or ces inégalités peuvent avoir lieu et subsister.
Nous n'énoncerons ni ne démontrerons les tbéorèmes analogues, relatifs au quotient, aux puissances, aux racines, aux exposants incommensurables. En définitive, le lecteur voit qu'on est ramené à la théorie connue sous le nom de théorie des /imites, qui est traitée dans tous les cours d'Anal\se. Celte théorie ne fait plus partie de la théorie des nombres, c'est pourquoi nous n'y insistons pas.
219. Cette théorie, appliquée au calcul des nombres incommensurables, nous donne le résultat suivant : Pour effectuer un certain calcul, composé d'additions, soustractions, multipli cations, divisions, élévations aux puissances, extractions de racines sur des nombres incommensurables, on effectue le même calcul sur les valeurs approchées de ces nombres, pour des valeurs de plus en plus grandes de l'approximation, et Von obtient u ne suite de résultats définissant un nombre qui est leur limite, et qui est le nombre cherché.
Nous terminerons par les théorèmes suivants, qui sonl d'une application constante :
220. Théorème. — Si une suite indéfinie de nombres "i- at a„. ...
est telle que chacun (leur soit supérieur ou égal au précédent: si, de plus, un quelconque de ces nombres est plus petit qu'un nombre déterminé \. ces nombres tendent iyers une limite inférieure ou égale à \.
En effet, classons les nombres commensurables de la façon suivante : Dans la classe inférieure C, nous plaçons les nombres x, tels que, dans la suite
il y ait des termes plusgrands que a. Dans In classe supérieure C, nous plaçons les nombres (3, lels que dans la suite
a,, at, ..., an, ...
il n'y ail p;is de terme plus grand que û.
Il est évident qu'aucun nombre commensurable n'échappe à <etle classification, et que d'ailleurs cette classification satisfait à toutes le> autres conditions nécessaires pour qu'elle définisse un nombre. Soit « ce nombre. Je dis que les termes de l<i suite
at, at, ..., a,n ...
tendent vers a.
En effet, soit b un nombre appartenant à la classe C, // un nombre appartenant à la classe C. On a
IVfais quel que soil le nombre positifs, on peul trouver les nombres b et 1/ tels que
et (1 ailleurs on peul trouver un tenue an tel que
f )n ,i alors
a — an < a — b < b' — b < e.
Donc les termes de la suite
a 1 . a ,, .... a u . ... tendent vers a .
Il est d'ailleurs impossible que cette limite a soit supérieure à A, car si cela était, comme il y aurait des termes de la suite
ax. «.,. . . ., a„.
qui différeraient de a de moins de a — A, ces nombres seraient supérieurs à A, ce qui est contre l'hypothèse. On démontrerait de même que :
Si une suite indéfinie de nombres est telle que chacun d'eux soit inférieur, ou égal au précédent ; si, déplus, un quelconque de ces nombres est plus grand qu'un nombre déterminé A, ces nombres tendent vers une limite supérieure ou égale à A.
