Q*H*- PA

Xk — —

Q/ v — Pk

m lire en él mimant x

Q*(P**-iar*4-i + P*)- P*(Q*4.iar-+-Q*)

Or les quantités I'/,. Q*, an satisfont évidemment aux mêmes relations de récurrence que dans les fractions continues limitées, c est-à-dire aux relations

P/. . i P/. "/. • i-.- P <.'/. i Q/ "i Q el à la relation

P*Q*-i- Pa-iQa= ( ' '

l6o CHAP. v. — LES NOMBRES INCOMMENSURABLES.

I iniii' on peul écrire

(P*+iQ*-i-P*-iQ . ' .

Th =

ou enfin, en remplaçanl r/l+, el Q*+) par leur- valeurs.

Or, <n,+\ étant le plus grand entier contenu danser*, ceci montre que - est compris entre o et i . Donc X/c+i est plus grand que i . Donc <7/,+J esl positif.

22i. Conclusion . I un nombre incommensurable x donné, correspond donc une suite de nombres entiers parfaitement

déterminés c{. a2, • • • donnant lieu à une suite de réduites

P !'■ Ps

Qi' Qt' Q3

Le iliéorènic suivant montre que ces réduites tendent verser.

225. Théorème. — Étant donnée une suite indéfinie quelconque de nombres entiers positifs at, <>., si l'on forme

les réduites

"i- rr "i

Qi Qî o,

i" Ces réduites tendent vers une limite x\ 2° Si l'on applique à ce nombre x le procédé précédent , on retrouve les nombres a(, a*, ...:

.'*>" ./• est incommensurable.

En effet : i" nous avons vu (n° 94) que, quelque loin qu'on pousse le calcul. les réduites de rang impair vont m croissant

et restent toujours |>lu^ petites que '/,-[- • Doue elles oui une

limite. De même les réduites de çang pan- vont en décroissant el restent toujours plus grandes que <■/,. Donc elles ont aussi une limite. D'ailleurs ces deux limites sont les mêmes. En effet, la

DÉVBLOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTINUES. l6l

dillercnce entre une réduite de rang pair j~ et la réduite sui-

vante r.2/l+1 est égale à jt — ^ Or Q2„ et Q^«+i sont des entiers

qui croissenl avec //. Doue celte différence tend ver&zéro.

\in-i les réduites de rang pair et celles de rang impair ont une limite commune.

<" Soit x celte limite. On a

Donc, a fortiori,

Donc «, est le plus grand entier contenu dans x. Ensuite

ai h < x < ax H

Donc

.t — aj «3

Donc, a fortiori,

.r — ax

Donc ct-2 est le plus grand entier contenu dans

D'une façon générale, P/,+I ^ ^ P/+2

< x < (en supposant A' pair pour fixer les idées),

'écrire, en

Q/.-M Qa 2

e.e qui peut s'écrire, en introduisant le nombre Xh défini par la

relation x =

QA-a?A+ Q/t-i'

IV//.-M -4- P/,-) P/, 37,-1- Pa— i . \ «/.+2/

Q/, lat+i -î- ^— I -l- Q/.,

d'où l'on lire facilement

Donc, a fortiori,

Donc «a+i esl le plus grand entier contenu dans .//,. 3° Enfin x esl incommensurable, puisque si a- était commensurable la suite d'opérations qu'on vient de dire serait limitée. G. il