Limite >l< l'approximation obtenue en s'arrétant à um
réduite- ■ Le nombre a: étant compris entre el ,, '• l'er-
p reur commise en prenant () comme valeur approchée est j > 1 n -
petite que la valeur absolue de — - » c'est-à-dire que * ~ —
i i 1 1 , < >; itii,
el a fortiori une
ti^T. Exemple de développement d'un nombre en fraction continue illimitée. — Développer en fraction continue le logarithme vulgaire '/>' 17. c'est-à-dire calculer le nombre x satisfaisant à l'équation
Ce nombre étant compris entre 1 el 2, le premier quotient incomplet est 1 .
l'osons donc x = 1 L'équalion de\ ienl
Or on \oit facilement que X\ esl compris entre \ el 5 : le second quotient, incomplel esl donc j. Posons maintenant
L'équation uY\ ienl
d'où
. ...s ; Sa, }j - ,,, 58
.r . est compris entre 2 et 3. En continuant ce procédé on trouve
le développement
DÉVELOPP. Di:s NOMBRES INCOMMENSURABLES F..N FRACTIONS CONTINUES. l63
Il est bien évident que ce procédé réussit pour le développemént en fraction continue d'une racine d'une équation quelconque. Les quotients incomplets successifs sont les parties entières de racines d'équations successives.
228. Théorème. — Si l'on a deux valeurs approchées, l'une /"//■ défaut ./•,, l'autre par excès x2, d'un nombre incommensurable .r, les premiers quotients incomplets, communs nui développements en fractions continues de x 4 et de x->, appartiennent au développement en fraction continue de x.
Soient at,a2 au ces quotients incomplets communs.
a, étant la partie entière de x{ et celle de x-2 est aussi la partie entière «le .r qui est comprise entre x< et x2-
a., étant la partie entière de et celle de est
• ..... i . . i aussi la partie entière de qui est compris entre
1 x — a , * L Xi — at
el » etc.
Xt — « !
Exemple :
i . - 1 828 1 82 8 \:> 904 < e < 1 . 7 1 828 182 84 5 9<>5. Les quotients incomplets communs sont
2 , 1 . 2 , 1 . 1 . 4 • 1,1, 6 , 1 , 1 . 8 , 1,1. qui donnent les réduites communes
2 3 8 11 Mi 87 io6 193 i->.6i 1/P7 2721
Ces réduites appartiennent au développement de e en fraction
continue.
229. Réduction en fraction continue d'un nombre négatif . — Ce que nous avons dit au n° 97 de la réduction en Ira» lion continue d'un nombre commensurable négatif s'applique à un nombre
it,', CBAP. \. — l.l- NOMBRES MCOMMBNSUBABLBS.
incommensurable. Par exemple ayant
on a
230. Fractions continues irrégulières. — Nous appellerons ainsi des fractions continues de la forme
« + — - ■ ou [a, b. ..., /.. /. i. p, ...],
dans laquelle les éléments a, [3, ... sont, à partir d'un certain rang, tous positifs, les précédents a, 6, c, ...,/ n'étant pas tous positifs, ci pouvant être négatifs ou nuls. Eu particulier, nous appelons / le dernier élément qui n'esl pas positif.
Il esl bien évident que les formules qui permettent de calculer les réduites de proche en proche s'appliquent à ces fractions. Elles s'appliqueraient d'ailleurs à des fractions continues dans lesquelles les éléments seraient des nombres quelconques, non entiers.
231. Nous allons montrer qu'o/i peut transformer une fraction continue irrégulière en une fraction continue ordinaire régulière, de façon que, dans les deux fractions continues, inits les déments, à partir d'un certain rang, soient les mêmes.
Pour cela, nous allons montrer que l'irrégularité qui va jusqu à l'élément / peut être remontée d'un ou plusieurs éléments, de
