OPÉRATIONS

Relativement aux puissances, on a le théorème suivant, qui résulte Immédiatement de ce qu'on a dit sur les produits de facteurs.

17. Le produit de plusieurs puissances d'un menu- nombre est égal à une puissance du même nombre ayant pour exposant la somme des exposants des facteurs.

( lomme cas particulier :

La puissance pième de la puissance mième d'un nombre a est égale à la puissance (mp)11'""' de ce nombre a .

18. D;uis les théorèmes précédents, on peut supposer certains des exposants égaux à zéro ou à un, au moyen des définitions suivantes :

<rl a, lesquelles ne contredisent aucun des théorèmes précédents.

19. Division des nombres entiers. — La division est l'opération inverse de la multiplication, comme la soustraction est l'opération inverse de l'addition.

La soustraction pouvait en efTet se définir : Etant donnés lu somme de deux nombres et l'un de ces nombres, trouver l'autre.

De même, on peut poser le problème suivant : Etant donnés le produit a de deux facteurs et l'un de ces facteurs égal à b, trouver l'autre.

.Mais l'opération ainsi définie n'est pas, en général, possible.

En efTet", considérons les produits de b parles nombres entiers successifs, ou, comme on dit, les multiples de b.

Il peut arriver qu'il y en ait un égal à «, soit

a = qb.

Alors le problème posé est possible, !«• nombre q répond à la question.

M. us, en général, a est compris entre deux multiples consécutifs de b, soient (/b et (q~-i)b, et le problème proposé esl

impossible

< mi'. I. — RAPPEI i » i -— mfiOBIBS LES PLUS ÉLÉMENTAIRES.

< >n .1 alors

/• étanl plus [ici il que A.

I. égalité I - i esl un <;i> particulier <!<• l'égalité 3 • r étanl égal .1 zéro.

Généralisons donc la définition île la division ci disons que, dans chaque cas, I opération qui consiste à trouver </ el r s'appelle division de n par h. Dans le cas où /■ o, on ilii que la division se fail exactement, >/ esl appelé le quotient exact de a

par ii el se désigne par j ■

Dans ir cas où /■ d esl pas mil. /• s appelle le reste de la cli\ision, (/ le quotient à une unité près de '/ par A et se désigne

parE(|).

^20. Extraction des racines. Enfin l'extraction des racines esl I opération inverse île l'élévation aux puissances.

i'.iant donné un nombre <> . cherchons un nombre qui, élevé

à la m"""' pnissiinir. reproduise ".

L'opération ainsi définie est, en général, impossible. En effet, considérons !<•> puissances /// ' ""' <les nombres successifs : il peul arriver <|ii il \ en ail une égalé a a. Soit

Vlors li' problème posé esl possible, If nombre c répond a la quesl ion.

M. us. en général, " esl compris entre les puissances mxcmM de

deux nombres eonséeuiifs, soil c'" ci (c i )'". el le problème pri >posé esi impossible.

< )n ;i alors

r étanl plus pelii que (c -+- i/" • - >■'".

L'égalité I i esl un cas particulier île l'égalité (5), /■ étanl égal à zéro.