NUMÉRATION

Dans chaque cas, l'opération qui consiste à trouver c <i / s'appelle extraction de la racine m"""' de c. Dans le cas où /• = o, nu dit que la racine s'extrait exactement; c est dil la racine ///"'""' exacte de a et se désigne par y a.

Dans le cas où /• n'est pas nul, /• s'appelle le reste, c la racine m"""' de a à une unité près, et se désigne par E( \ c\

21. Numération. - La numéral ion esi Y art de nommer et d'écrire les nombres. Les deux numérations (écrite et parlée) reposent sur le théorème suivant :

Etant donné un nombre b (appelé base), soit N un nombre quelconque, il existe une façon et une seule de mettre IN sous la forme

(6) N = a0bn~ avb"-x -)-...'-+- «„-i b ■+• a„.

a0, a, an étant des nombres plus petits que b et dont certains peuvent être nuls.

En effet, l'égalité (6) peut s'écrire

N = (a0b"-l-+- axb"-*-±. . .-+- an-i)b -h an.

a n étant plus petit que b. cette égalité montre que an devra être le reste de la division de N par b. Réciproquement, divisons N par b. Soit

N = bN'+aa.

Si Ton parvient à mettre N' sous la forme

N sera mis sous la l'orme (6).

On a donc ramené la question relative à N à la même question relative au nombre plus petit N'.

an-\ sera de ,nême le reste de la division de N' par />: et ainsi de ^uile.

De proche en proche on détermine ions le» nombres a n. a'„ ,, atl 2, etc.

L'opération se termine d'ailleurs, car les nombres N, N', IN", . . .

lO CHAP. I. — RAPPBL Dl S mÊORIES M* PLUS BLÊMBN TAISES.

allant en diminuant, «m finit par tomber sur un nombre plus petit que l>.

--. \in-i à • j 1 1 aombre N correspond une suite déterminée de coefficients '/„. at an <•! réciproquemenl .

Ces coefficients sont certains des b nombres o,'i, . . ., b — i. Représentons ces h nombres par A signes différents, cl le nombre N sera représenté par la suite des signes qui représentent les coefficients >/„. </, a„.

La numération ordinairement employée est la numération à base i o <>u décimale. Les signes employés ont été donnés au n° i2.

23. Quanl .1 la numération parlée, elle repose sur le même principe. Il suffit de donner des noms aux nombres o, i , ...,/> — î , pour pouvoir, en combinant ces nom-, nommer tous les nombres; mais, ce principe une fois admis, la numération parlée esl plutôl une affaire de grammaire que de Mathématiques.

\ partir de maintenant, donner un nombre voudra «lire : donner le moyen d'écrire ce nombre dans un certain système de numération : décimale, par exemple.

24. Opérations arithmétiques. — Les opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction déracines, peuvent alors être définies delà façon suivante, l'addition par exemple : Des nombres étant écrits ihms le système décimal, écrire leur somme dans le système décimal, el de même pour les autres opérations.

< juant aux règles pratiques clc ces opérations, elles appartiennent à l'enseignement le plus élémentaire el nous oe !<•> développerons pas.

§ II. — Divisibilité. Diviseurs communs.

^.">. Multiples et diviseurs. - Comme nous l'avons déjà dit, on appelle multiple d'un nombre !<■ produit de ce nombre par un autre, \insi mu < ->i un multiple «le a. Inversement n est dit di\ iseur de ma .

'/'nui diviseur de plusieurs nombres est un diviseur de leur

si , m in r.

DIVISIBILITÉ. DIVISEURS COMMUNS. Il

Car si

a" — m" 0, il en résulte que

a -+- a' -+- a" = (ni ■+■ m' -h m')b.

Comme cas particulier, tout diviseur d'un nombre est diviseur île ses multiples.

On voit de même que tout diviseur de deux nombres est un diviseur de leur différence.

26. Théorie du plus grand commun diviseur. — Plusieurs nombres ont des diviseurs communs, car ils en ont au moins un qui est l'unité. Ils peuvent en avoir d'autres; en tout cas, ils en ont un plus grand que tous les autres, et qu'on appelle leur plus grand commun diviseur.

On ramène d'ailleurs la recherche de tous les diviseurs communs à plusieurs nombres à celle des diviseurs de leur plus grand commun diviseur.

27. Occupons-nous d'abord de deux nombres. La recherche de leur plus grand commun diviseur repose sur la possibilité, étant donnés deux nombres a et b, de trouver un nombre q et un nombre /' plus petit que b, satisfaisant à l'égalité (3).

Il est bien évident en effet, que, si a est divisible par b, les diviseurs communs à a et à b ne sont autres que les diviseurs de b et que le plus grand commun diviseur est b lui-même.

Si, au contraire, a n'est pas divisible par b, les diviseurs communs à ces deux nombres, divisant a et bq, divisent leur différence /'.Réciproquement, les diviseurs communs à b et /•, divisant bq et /', divisent leur sommer/.

On en conclut que les diviseurs communs à a et b sont les mêmes que les diviseurs communs à b et r.

On déduit de là un procédé pour déterminer par des divisions successives le plus grand commun diviseur de deux nombres.

Soient a et b ces deux, nombres. Divisons a par A, puis divisons b par le reste de celte division et ainsi de suite. On a les

12 CHAI'. 1. RAPPB1 ni s rHÉORIES LBS PLUS ÉLÉMENTAIRES.

égalités

bq /| .

'/l-l 'il- 1 '/il- I + /"/;•

''/; - I 'il '/ il-

Les restes /'(./j. ••• allant en diminuant, le dernier est nul. I )t les diviseurs communs à a el A sont les mêmes que les diviseurs communs à b el /•, qui sonl les mêmes que ceux communs à /•, el r , el ainsi de suite.

En définitive, les diviseurs communs à a el 6 ue sont autres que le> diviseurs de /•„. qui esl lui-même le plus grand commun

diviseur de <i el de 6.

!2<S. Le raisonnement précédent montre que :

Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur pi us grand commun diviseur.

*î\). \ ombres premiers entre eux. — ( )n dit que deux nombres sonl premiers entre eux, lorsqu'ils n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité.

On obtient facilement des nombres premiers entre eux de la façon suis unie Remarquons d'abord que

Lorsqu'on multiplie deux nombres par un troisième , le reste Je leur division est multiplié par ce troisième .

( lar soil

on en déduit

171 a m bm ! q h- rm.

donc

rm bm.

Dune l'égalité (7) montre que rm est le reste de la division

de mu par l>m .

DIVISIBILITÉ. DIVISEURS COMMUNS. lu

Il résulte immédiatement de là que, inversemenl :

Lorsqu'on divise deux nombres par un diviseur commun, le

reste <lc leur division est divisé par ce diviseur commun .

Ceci posé, considérons la suite des divisions qui donnent le plus grand commun diviseur de deux nombres a et b. Si Ton multiplie ou divise ers deux nombres par un troisième, les restes de toutes les divisions successives sont multipliés ou divisés par ce même nombre. Or le plus grand commun diviseur est l'un de ces restes. On peut donc dire que :

Lorsqu'on multiplie ou divise deux nombres par un tmisième, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce troisième.

En particulier :

Lorsqu'on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux.

Telle est la façon, que nous avons annoncée plus haut, d'obtenir des nombres premiers entre eux.

30. Comme application de ce qui précède, démontrons le théorème suivant qui est d'une extrême importance :

Quand un nombre divise un produit de deux facteurs, et qu'il est premier avec V un d'eux, il divise l'autre.

Soil in qui divise ab et qui est premier avec a. Le plus grand commun diviseur de m et a est égal à i. Donc le plus grand commun diviseur de mb et ab est égal à b. Mais m divise évidemment mb, il divise aussi ab] doue il divise b.

31. Recherche des communs diviseurs <) plus de deu.i nombres.

La recherche des communs diviseurs à plus de deux nombrerepose sur le théorème suivant :

Dans la recherche des communs diviseurs éi. plusieurs

i'i CHAI'. I. — HU'I'II DM rHÉORIBS LES PLUS ÉLÉMENTAIRES.

nombres, <>n peut remplacer deux de ces nombres par leur plus grand commun diviseur.

Suit, m effet, â chercher les communs diviseurs aux nombres ,i. A, c, d.

Soit 1) !<■ plus grand commun diviseur de '/ el b.

( )n a vu plus liant que les communs diviseurs à a ci b sont dn iseurs '!<' I >.

Réciproquement, les diviseurs de D sont communs diviseurs ., ,/ ri h. Il ni résulte que les communs diviseurs à ". I>. c, d sont le- mêmes que les communs diviseurs à I), c, d. I . est ce que nous voul ions démonl rer.

( > 1 1 ramène ainsi la recherche des commun- diviseurs à // nombres, à la recherche des communs diviseurs à n — i nombres. De proche en proche, on esl ramené à deux i ibres. Leurs communs diviseurs ne sont autres que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur. Ce dernier nombre esl donc le plus grand commun diviseur des nombres proposés, et Ton voit que le théorème du a' 28 s'étend à plus de deux nombres.

Il en esl de même des théorèmes du n° 29, comme on le voil facilement. En particulier :

'A"2. Lorsqu'on divise plusieurs nombrespar leur plus grand i 'hiiiiiiiii diviseur, les quotients obtenus n '>>/// plus d'autre diviseur commun que l'unité. On dit qu'ils sont premiers dans leur ensemble. Il faut distinguer cette expression de celle de nombres premiers cuire eux deux à deux.

§ III. — Nombres premiers. Décomposition des nombres en facteurs premiers.

33. < >n appelle nombre premier <il>snlu on. plus simplement, nombre premier, un nombre différent de j. et qui n'a d'autre diviseur que lui-même on l'unité i '). Exemple ■ deux, trois, cinq, sept . etc.

( ' ) Nous ne comptons pas i au rang des nombres premiers; certains auteurs le

comptent. La question n'a d'ailleurs qu'un intérêt se daire. Toutefois notre fa-

i "M de voir .i l avantage qu'elle permet d'énoni ei sans reslrii tion le théorème sui-