Comme application traitons la question suivante

Condition pour que les fractions continues qui représentent deux nombres soient identiques à partir d'un certain quotient incomplet .

l68 CIIAP. V. — II- NOMBRBS INCOMMENSURABLES.

(Il s d^ii . bien entendu, de fonctions continues régulières ordinaires.)

Cela revient à dire que ces deux nombres (■>. to' ont un même quotient complet x. < h\ a les égalités

Par-t-R

PV-H-IV

en appelant - la réduite qui précède le quotient complet ./%

dans le développement de to, et - la réduite précédant --; de

P' même ^ désigne la réduite qui précède le quotient complet x,

dans le développement de to', et la réduite précédant — -,- Soit k

le nombre des éléments qui précèdent x, dans le développement de 10 ; k' le nombre de ceux qui précèdent x dans le développement de to'.

P, Q, R, S, P', Q'. H', S' sont des entiers satisfaisant aux conditions

PS— QR =(— u*.

Si, entre les égalités (4) et (5), on élimine x on trouve

ou, en posant

D'ailleurs on a

, (PS — QR')to-f-PR'— P'R - (Q'S — QS')w-t-PS'— Q'R'

P'S — QR =et, PR'P'R= p,