KO) H
yw -t- 0
7., [jj. y, § étant quatre nombres entiers satisfaisant à In condition
xo — Py = — ! ■
1 xo — t3y =+1 o« — r, suivant que les éléments quiprécèdent le quotient complet commun, dans les développements de 0) et de <•>'. sont en nombre de même parité ou non.)
Démontrons maintenant que cette condition est suffisante. En effet, supposons qu'elle soit remplie.
Supposons d'à bord v — o.
On a alors
x8 =± 1; d'où
a===bi,
Donc w' se réduit à rb to rir (3.
Si (1)'= to db (5, le théorème est évident.
Si to'= — to ± [3, on a
— ta' = a) zf. S.
Ce cas se ramène donc au précédent, car si l'on se reporte aux nos 97 et 229, on remarque que les fractions continues qui représentent deux nombres égaux et de signe contraire, sont identiques à partir du quatrième quotient incomplet au plus.
Supposons maintenant y ^é o.
Réduisons la fraction - en fraction continue. Soit
Remarquons que L'égalité
ao — 3y = ± 1
prouve que v et a sont premiers entre eux. I >onc esl une fraction
170 iiup. v. — ils NOMBRES INCOMMENSURABLES.
irréductible. Si donc on appelle la dernière réduite de la frac-
lion continue ( ~ ), <>n a
* = Pa-,
( )n ,i (I ailleui s
«8 — Py = ± iou
Maintenant, on peul toujours supposer que k soit d'une parité telle que la quantité a8 — [ây ou I\ o — QA{3 soil égale à( — i)*.
En effel . >i x8 [âv étail égal à ( — i /'+l , on écrirai! la fraction (7) sous la forme
<le sorte que le nombre k serait augmenté d'une unité.
Les deux quantités P*Q*i — Qa I'/, 1 et l'/,o — QA|3 étant alors, toutes les deux, égales à ( — i)A, on a
PaQ*-,— QaP*-,= PaS Q /
I'a et Qa étant premiers entre eux, celle égalité donne (n° 111)
/ étant un nombre entier positif ou négatif.
Par suite, si l'on remplace a, [5, y, 0 par leurs valeurs dans l'égalité (6) il vient
, l'/,tQ -+- P/,-1-4- V/.t
w ~ Qaw-4-Qa i Q*«' ou
( , l'/.((o + Q + P/.-, ~ Q*(M + 0+Qt-i'
Ce qui montre que la valeur de tu' s'obtient en remplaçant, dans
la fracl ion continue (7), / par /+ - — •
Si donc le développement de <•>. en fraction continue régulière,
DÉTlBLOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTINUES. 171
ni en déduit
g 1 (.)' = | ,1 , h. . . ., I, ni - - t. 11. ji. . . . |.
Si m -+- t esl positif, celte dernière fraction continue esl régulière, c'esl la fraction qui représente co'. 11 est visible que les deux liât lions (8) et (9) sont identiques à partir du quotient incomplet 11 cl le théorème esl démontré.
Si /;/ + / est négatif ou nul, on commencera par rendre régulière la fraction continue (9). Comme dans cette transformation les quotients incomplets resteront invariables, à partir d'un certain d'entre eux, les bâclions (8) et (9) sont identiques à partir de ce quotient incomplet-là.
234. Nous avons dit plus haut que ao — {3y = + 1 ou — 1, suivanl que les éléments qui précèdent le quotient incomplet commun, dans les développements de (•> et de co', sont en nombres de même parité ou non.
La réciproque est vraie.
En effet :
a8-pY = (-!)*•
D'ailleurs /» esl le nombre des éléments a, A, ...,/.
Or comparons les fractions continues (8) et (9). Dans ces fractions, les éléments qui précèdent le quotient incomplet comliitiu n sont au nombre de 1 pour la fraction conlinue(8) et Â-f-i pour la fraction (9). Ces deux nombres sont donc de même parité ou non, suivant (pie /. est pair ou impair. Si la fraction (9) esl régulière, If théorème est démontré.
Sinon, on sait que, en rendant cette fraction régulière, le nombre des éléments modifiés dans le calcul est de même parilé que ceux qui les remplacent .
Donc le théorème est encore vrai dans ce cas.
Mais il faut remarquer qu'il n'est pas impossible (pic dc\\\ nombres 10, io' soient liés à la fois par deux relations
w = - ; («S— Bv =-f- 1), yu> -+- 0
Si cela a lieu, il faul nécessairement qu'il \ ait, dans <■>. deux quotients complets de rangs différents, <]ui soient identiques à un même quotient complet de u>', et par conséquent identiques entre eux. !><■ plus, ces deus <|ii<»tï<iit— doivent être séparés pai un nombre Impair de quotients incomplets.
On en déduit facilement que les quotients incomplets de <• forment une suite périodique. Nous reviendrons plus loin sur ces fractions continues périodiques.
§ III. — Distinction entre les nombres commensurables et les incommensurables. Recherche des racines commensurables des équations algébriques. Nombres algébriques. Théorème de Liouville. Classification des nombres incommensurables.
235. La question suivante se pose maintenant : Un nombre étant défini />"/■ une suite infinie de nombres entiers, reconnaître si ce nombre est comme nsurab le <>u incommensurable.
Cette question est loin d'être résolue. Elle est d'ailleurs très vaste, à cause de la multitude de laçons dont on peut composer la suite infinie qui définit un nombre. Mais nous possédons déjà les résultats suivants :
Un nombre étant défini par son développement en décimales, pour tpie ce nombre s<n't commensurable, il faut et il suffit que lu suite deschiffres soit, à partir d'un certain rang, périodique.
Le développement en fraction continue donne un autre critérium.
Pour qu'un nombre soit commensurable, il faut et il suffit que son développement en fraction continue soit limité.
236. Racines commensurables des équations algébriques. — Soit une équation algébrique
ct,.r ■ r/, ./•''-' -+-. . .— a„-xx -+- o„= o.
dans laquelle les coefficients a0, a{ an sont des nombres
entiers.
RACINES COMMENSURABLES lus ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. i ; 3
Voyons d'abord si celte équation a des racines commensurables. Il suffît pour cela d'appliquer le théorème suivant :
