Si un polynôme à coefficients entiers

a0x" — a1a:n—1 -h. . .-f- an

est <li\isible, algébriquement , par un autre polynôme à coefficients entiers

I, „.}■/'— bi.ci'-1 — . . .— bp

dont les coefficients sont premiers dans leur ensemble, les coefficients du quotient sont des nombres entiers.

En effet, on peut en tout cas supposer les coefficients du quotient réduits au même dénominateur.

boit alors V| '- le quotient, de sorte

Mile

= (bt xv ■+■ bi xp-i -+- . . -+- bp , y + bp , ! ''-'■ ^ '•/

i 7 i 'il \p. \

ou, pour abréger,

— LE-- VOIHHK» INi 'tM>Il..NM UAlil.l ».

Il fit 11 1 démontrer que M divise tous les coefficients de -\\ pour cela il faut démontrer que i< >n t facteur premier p. de M divise ces coefficients. Or u, divise tous les coefficients du produit ^X'I. d'ailleurs il ne peut pas diviser tous les coefficients de cp | puisque par hypothèse ces coefficients sonl premiers dans leur ensemble i. On est donc ramené à démontrer le théorème suivant :

Si un nombre premier u. <li\ ise tous les coefficients du produit de deux polynômes tp y. et '///' il ne divise />".s tous les coefficients de ©, il divise (mis les coefficients <le <j/.

D'abord, si u divise certains coefficients de o, on peul dans le produit 'i'\ retrancher le produit de la somme de ces termes part];; il reste le produit »|A, u>{ étant un polynôme dans lequel aucun coefficient n?e>t divisible par p., mais tous les coefficients de ce produit élant divisibles par ;j.. Pour ne |>as multiplier les notalions, supposons que ce polynôme '^, soit le polynôme <p.

Les coefficients du produit o<|i développé sont

b0cl-h 6, e„.

u divise tous ces coefficients.

Le lac te m- premier p. divisant bac0 <•! ne divisant pas b0 divise < „ .

p di\isaiit A,,'-, -f- /,{ r„, et divisant '■„ divise b0ct, ne divisant pas bo il divise c{ .

p. divisant b0c.2 btct -t- b»c0, et divisant c0 et r, divise 60c2; ne di\ isanl |>a» b0 il divise e,. etc.

< )u voit que p. divise tous les coefficients CqC,, . . . c*.

Le théorème est donc démontré.

t23(d. Revenons au cas particulier de ce théorème énoncé au n ' 237 dont nous avons à nous oc< upef maintenant.