RACINES COMMBNSURABLES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Pour que l'équation

Il ,1, .,-"-.- it,.r"-l-T-. . .H- an-iX -±-(1,, - 0

admette la racine commensurable — ( — étant réduite à sa plus

-impie expression) il faut, avons-nous dit, que le polynôme

a -r '' K\- r"-[ ... an-ix — a„

soit divisible par le binôme px — m et que tous les coefficients du quotient soient entiers.

En particulier il en résulte que ni doit être diviseur de an et /> diviseur de a0. Donc pour trouver toutes les racines commensurables de L'équation (i i) il faut procéder de la façon suivante : Prendre, de toutes les manières possibles, un diviseur de an comme numérateur, un diviseur de a0 comme dénominateur; parmi les fractions ainsi obtenues, ne garder que les irréductibles,

el les faire précéder des signes -f- et — . Soit — un des nombres

ainsi obtenus : pour voir si ce nombre esl racine, on divise /(#)

parpx — m \ si dans le courant de la division on obtient au quotient un coefficient fractionnaire, ou si le reste de la division n'est

pas nul, — n esl pas racine.

D'ailleurs des circonstances particulières peuvent simplifier le

I aïeul.

En particulier. l'Algèbre enseigne à trouver une limite supérieure el une limite inférieure des racines. Il sera inutile d'essayer des nombres non compris dans ces limites.

On \oii aussi que f(x) étant divisible par/;./- — m. et le quolienl ayanl ses coefficients entiers, si l'on donne à x une valeur entière, la valeur correspondante de y (.r) sera un nombre entier divisible par la valeur correspondante de px — m. Par exemple / 1 esl di\ isible par p — m, /'( — 1) est divisible par — p — m. Ces condition- restreignenl les essais à faire sur p el m.

240. Nombres algébriques. — Considérons maintenanl une équation débarrassée de ses racines commensurables. Je suppose,

ijb CHAP. n. LES NOMBRBS INCOMMENSURABLES.

de plus, son premier membre débarrassé de ses facteurs multiples,

d'après les règles 'I ;< - i a Ugèbre.

Soii f(x) = o, Nous allons montrer comment cette équation peut encore admettre comme racines des nombres incommensurables. Pour cela, donnons à x une suite de valeurs commensurables

el considérons les signes des expressions

On démontre, en algèbre, qu'il \ a un nombre maximum de variations de signe que la suite (i3) puisse présenter, quels que soient les termes extrêmes x, /.. et quelque rapprochés quesoienl les termes intermédiaires de la suite (12). On obtient ce nombre maximum de variations en donnant à a une valeur plus petite qu'un certain nombre \ (limite inférieure des racines 1, à X une valeur plus grande qu'un certain nombre L (limite supérieure des racines), et en choisissanl les termes intermédiaires successifs (3, y, ... différant entre eux de moins d 'un certain nombre /(limite supérieure «lu module de la différence des racines deux à deux). On apprend d'ailleurs, 1 d Mgèbre, à déterminer \. L, /.

Ceci pose, soient v, 0, par exemple, deux termes consécutifs de l,i suite! 1 '- i, tels <pie / ' y et/ B) -oient de signes contraires, tels de plus que si l'on insérail entre y et S un nombre quelconque de 1 en 11 e- commensurables el que l'on substituât dan- f\ x), la suite <lo résultats obtenus ne présentai jamais qu'une seule variation, quel que fût le nombre de termes introduits. Dans ces conditions on | ><ii i partager les nombres commensurables en deux i lasses :

1" Les nombres commensurables non supérieurs à y. ou ceux qui, étant compris en ire y et 8, do nue ni à /'1 ./■ 1 le signe de f y); 20 Les nombres commensurables non inférieurs à 0, ou ceux qui, étant compris cuire y et 8, donnent à J\ x) le signe de fi 8 . \iiciiii nombre commensurable n'échappe à cette classification, puisque, par hypothèse, aucun nombre commensurable n'annule /;.;i. Donc cette classification définit un nombr< incommensurable -■

NOMBRES ALGÉBRIQI ES. 1 77

Ce noml)rc incommensurable : est racine de l'équation

/(a?) = o, c'est-à-dire qu'on a

En effet, on démontre en Algèbre que, si x tend vers ;, la valeur du polynôme f( x) tend vers /(£). Or, d'après la définition de ;. suivanl que x tend vers : par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures à ç, f(oc} tend vers ,/(?) par valeurs d'un certain signe ou par valeurs d'un autre. Cela n'est possible que si

2-41. Les règles données en Algèbre pour la division des poly- DÔmes en x s'appliquant quelles que soient les valeurs données au symbole x, on en conclut que. si l'équation f{x) = o admet la racine incommensurable q, /{ x) est divisible par x — H. On déduit de la qu'une équation algébrique de degré m a au plus m racines: le nombre maximum de variations de signe de la suite (i3) dont on a parlé plus haut est donc au plus égal à m.

Ce nombre maximum peut d'ailleurs être nul, c'est-à-dire qu'il peut arriver que l'équation f(x) = o n'ait pas déracines.

Les nombres incommensurables ainsi définis comme racines d'une équation algébrique s'appellent nombres algébriques.

"212. Degré d'un nombre algébrique. — Il vient naturellement à l'idée de classer les nombres algébriques d'après le dc°ré de l'équation à coefficients entiers qui les définit; mais un nombre algébrique pouvant être racine de plusieurs équations algébriques à coefficients entiers, nous dirons : on appelle degré d'un nombre algébrique, le degré de l'équation ou des équations algébriques à coefficients entiers de />///.- petit degré possible dont ce nombre est racine

243. Equations et polynômes irréductibles. — On dit qu'un polynôme a coefficients entiers f(x) est irréductible lorsqu'il u'esl divisible par aucun polynôme à coefficients entiers de degré inférieur à lui, pas même par un polynôme de degré zéro. Un polynôme de degré' zéro est un nombre. Les coefficients d'un

polynôme irréductible ne sonl donc pas tous divisibles par un même nombre, autrernenl dil ils sonl premiers dans leur ensemble.

Le polynôme / x) étanl irréductible, l'équation f(x) = o esl dite aussi irréductible.

Mais comme une équation n'esl jamais définie qu à un l.i< teur numérique près, nous dirons encore qu'une équation /"( x) = o est irréductible, lorsque son premier. nombre devienl irréductible après suppression d'un facteur numérique commun à tous ses coefficients.

244. Thêorèmi . — L'équation à coefficients entiers de degré le plus petit possible à laquelle satisfait un nombre algébrique, est irréductible.

En effet, soit y(.r) = o colle équation. Si elle n'était pas irréductible, !<• poNiinmc /Y./) serait divisible par un polynôme à coefficients entiers 'f(x) de degré inférieur el l'on aurait

On peut supposer que 'f(x) a ses coefficients premiers dans leur ensemble; alors, '\{x) a ses coefficients entiers (n° 238 I.

Le nombre algébrique en question serait alors racine de l'une des équations f(x) = o ou ty(x)-=o. Donc l'équation f(x) = o ne sérail pas l'équation «le degré le plus petit possible à coefficients entiers à laquelle pourrail satisfaire ce nombre, ce <pii esl contre l'li\ pothèse.

245. Réciproquement : Si un nombre algébrique i satisfait à une équation irréductible f(x)= o, le nombre 1 ne peut satisfaire à une équation à coefficients entiers de degré inférieur à celui de f(x). En effet, si le nombre ç satisfaisail à une équation «p x) o de degré in férieur de f\ x l, le m un lue ; satisferai! aussi à l'équation l> x) o, D(#) étant le plus grand commun dh iseur entre /'• x | el &(x i.

Ce plus grand commun diviseur, obtenu par des divisions successives, esl à coefficients commensurables. Il esl de degré au plus égal à celui de 'f ' '• donc de degré inférieur à celui de f\ d'ailleurs il divise f(x). Donc l'équation f(x) = o ne serait pas irréducl ible.

NOMBRES ALGÉBRIQl BS. 179

246. Théorème. — Quand une équation à coefficients entiers V \ .1 ■■.-«.> admet une racine £, d'une équation irréductible

f{x) = o, (VA' A'.s' admet toutes.

En effet, le nombre ; est aussi racine de l'équation obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur D(./-) entre Fj v) el f{x). Mais, comme l'équation f(x) = o est irréductible, /(a?) ne peut avoir d'autre diviseur que lui-même. Donc l'équation i ) ./• i = o est identique à l'équation /'(.r) = o.

< h l'équation F(.r) = o admet toutes les racines de l'équation 0, puisque D(#) est un diviseur de F(x) : le théorème 1 -1 donc démontré.

247. En particulier, si deux équations irréductibles ont une racine commune, elles sont identiques. En d'autres termes, un nombre algébrique déterminé ne satisfait qu'à une seule équation irréductible.

De ce dernier résultat combiné avec les théorèmes des nos 2ii el 245, il résulte que la définition du n° 242 peut être modifiée de la façon suivante :

On appelle degré d'un nombre algébrique le degré de l'équation irréductible à laquelle il satisfait.

Remarquons qu'un nombre commensurablc — satisfaisant à

p une équation du premier degré px — m = o, les nombres com-

mensurables peuvent se définir comme étant les nombres algébriques du premier degré .

2iS. Le fait qu'un nombre algébrique du degré m déterminé correspond à une équation irréductible de degré m déterminée peut être considéré du point de vue annoncé au n° 20L

.La connaissant •• d'un nombre algébrique détermine complètement les m [-i coefficients de l'équation irréductible correspondante (supposés premiers dans leur ensemble). La réciproque n'est pas toujours \ raie, car si ces m + i coefficients sont connus, l'équation est déterminée, mais elle peut avoir plusieurs racines. Dans ce cas. <>n définira le nombre algébrique par une condition

supplémentaire, comme, par exemple, d'être compris entre deux nombres donnés.

Quoi qu'il en soit, on voit qu'il est inutile, pour définir les nombres algébriques, d'avoir recours, comme pour les nombres incommensurables en général, à une suite infinie de nombres entiers. C'est à ce point de vue que s'est placé Kxonecker; mais bien que la définition du nombre algébrique soit ainsi plus simple, l'application e>t plus pénible.

^'i(J. I )n remarquera l'analogie qui existe entre les polynômes irréductibles et les nombres premiers.

On peul d'ailleurs faire une théorie des polynômes en ./■ à coefficients entiers complètement analogue à celle des nombres entiers. L'addition, la soustraction, la multiplication de tels polynômes, donnent toujours naissance à des polynômes de même nature. Pour la division, il suffit qu'un polynôme dividende soit di\ isible algébriquemenl par un polynôme diviseur, pour que, en supposant les coefficients du diviseur premiers dans leur ensemble, il existe un quotient à coefficients en tiers (n° 238).

La lliéorie du plus grand commun diviseur subsiste sans modification. Lespoh nômes irréductibles sont analogues aux nombres premiers absolus. Tout polynôme à coefficients entiers est décomposable, d'une seule façon, en un produit de polynômes irréductibles ; etc.

t^io. Maintenant, il faul résoudre le problème suivant :

f n nombre algébrique étant défini par une équation algébriqueà coejftcie/tts ailiers J\.r » <> et par une eondition supplémentaire [par exemple, /><//■ la condition d'être compris entre deux nombres a et />, ne comprenant qu'une racine de l'équation f(x)= o]. trouver le degré de ce nombre.

Ce problème revient immédiatement au suivant :

Décomposer un polynôme f{x) à coefficients entiers en facteurs irréductibles.

On sait que cette décompositi t'est possible que d une .-en le