NOMBRES ALGÉBRIQUES. I 8 I

manière (n° 2i9). On peut d'ailleurs supposer que les coefficients du pol\ mime f{x) soient premiers dans leur ensemble.

On peut aussi supposer que le polynôme /(x) n'ait pas de facteurs multiples, car l'Algèbre apprend à trouver ces facteurs.

Pour effectuer la décomposition demandée, cherchons d'abord si f{x) a des diviseurs du premier degré, ces diviseurs étant certainement irréductibles. Celte recherche revient immédiatement à celle des racines commensurables, dont on a parlé au n° 239.

Cette recherche effectuée, on divise /(x) par le produit de ses facteurs irréductibles du premier degré, et l'on obtient un quotient f,(x) qui n'a plus que des facteurs irréductibles du second degré au moins [puisque /(x) n'a pas de facteurs du premier degré, multiples].

Soit

ax2-\- bx — c

un tel facteur.

a est diviseur du premier coefficient de /, (x), c est diviseur du dernier; on aura donc un nombre limité de systèmes de valeurs possibles pour a et c.

D'ailleurs, /, (x) étant divisible par ax- -j- b x + c, et le quotient ayant ses coefficients entiers, si l'on donne à x une valeur entière, la valeur correspondante de f\{x) sera un nombre entier divisible par la valeur correspondante de ax- -\- bx -\- c. Par exemple, /, (i) est divisible par a -+- b -\- c. Il en résulte qu'à chaque système de valeurs possibles pour a, b, c, correspond un certain nombre de valeurs possibles pour b. 11 reste à essayer les polynômes obtenus et à voir s'ils sont réellement diviseurs de /, (x). [Si, parmi les polynômes du second degré obtenus, il y en a certains que l'on aperçoit ne pas cire irréductibles, il est inutile de les essayer : ils ne peuvent être diviseurs de /, (x), car /, (x) n'a pas de facteur irréductible du premier degré. |

Les polynômes irréductibles du second degré, facteurs de/, (x) étant trouvés, on divise f\ (x) parle produit de ces facteurs; on obtient un quotient f2(x).

On cherche les facteurs irréductibles du troisième degré de f2 (x) par une méthode analogue, en considérant les valeurs -4- i et — i de x par exemple, et ainsi de suite.

l8a CHAP. \. LES NOMBRES INCOMMENSURABLES.

Exemple. — Soil l<- polynôme • f(.r) = 6ar" — 29a:6 + ï8a ■ — |oa?' — ~>- .1 '' — 1 392 - — ■ ■ 1 r-+- 36.

< )n trouve (oui mi' lac leur- tlu premier degré 2X — 3 el ■ '>./■ — 4> et >i l'on divise le polynôme proposé par le produit

( ix — 3)(3.r — 4 >•

mi trouve comme quotient

Soit ax*-\- bx ■+• c un diviseur du second degré de ce polvnôme.

a est diviseur de 1 . donc

c est diviseur de 3, donc

C=±IOU±j.

Enfin a -f- b -+■ c est diviseur deft(i), c'est-à-dire de 2, donc a + i + c=±i ou ±2.

On trouve les polynômes suivants comme facteurs possibles du second degré :

±(:F2-t- a? — 1), rh(.r2 — x — 1), ±(x- — ix — 1), ±(x--i- >.r — 2).

±(a?*-+-3a? — 3), ±(.r2+- a? — 3), ±(a?! ja? — 3), ±(x2— 3).

11 suffit évidemment d'essayer les polynômes précédés du signe H- . On restreint le nombre des essais en remarquant que ft( — i)ouG doit être divisible par a - b - - c, de sorte que a — l> <■ w- | > < ■ 1 1 1 être égal qu'à ± 1 , in 2, ± 3, ou ± G.

D'ailleurs tous les polynômes satisfaisant à ces conditions so.nl irréductibles, il faut donc les essayer lous.

On voil <|uc la méthode entraîne des calculs pénibles. Dans le cas présent, on trouvera que x1 — ix -■ 3 esl seul un facteur de fK (.a;) cl que le quolienl esl

Le polj 11 ùme / .t .1 1 étant du troisième degré, el ne pouvant a\oir