La question suivante se pose maintenant

/ a nombre incommensurable riant défini^ reconnaître si ce nombre est algébrique on transcendant . Dans le cas où il est algébrique, trouver son demi-.

Celle question, généralisation de celle posée au n" 235, est, comme elle, loin d'être résolue. Elle est d'ailleurs aussi très vaste.

Nous avons rappelé plus haut (n" 235) comment le développement en décimales, ou celui en fractions continues, permet de distinguer les nombres commensurables, ou algébriques du premier degré, de tous les autres nombres.

253. Le développement en fraction continue porte plus loin : il permet de distinguer les nombres algébriques du second degré, au moven du théorème suivant dû à Lagrange :

Tout nombre algébrique du second degré est développable en fraction continue périodique, et, réciproque min t. toute fraction continue périodique est égale à un nombre algébrique du second degn

l ne fraction continue périodique est une fraction continue dont

r84 (Il M'. \. — II» MiMItllliS I.NCiiMMK.NSl H.VIil.KS.

le- quotients incom j »l«'i - se reproduisent périodiquement à partir d'un certain rang.

±'> \ . \\ .mi de démontrer le théorème de Lagrange, nous ferons les remarques générales suivantes sur le développement en fractions continues des nombres algébriques de degrés quelconques.

Soil une équation algébrique de degré // n'ayant pas tic- racine multiple

Soil H une racine de cette équation, définie par le fa il qu'elle est séparée, c'est-à-dire qu'elle est comprise entre deux nombres y. et [3,

et qu'elle est la seule comprise entre y et 'i.

Pour la développer en fraction continue nous suivrons la méthode du o° ±27.

Soit donc r/| la partie entière de ;, nous poserons dans l'équation (i5)

L'équation qu'on obtient pour xt, (16) ' /i(j?i) = o

est également algébrique et de degré n.

A la racine ç de l'équation (i5) correspond une racine ç, de l'équation (iG) plus grande «pic i. De même, toutes les racines de l'équation ( i (i ) correspondant à des racines de l'équation (i5) avant <7, pour partie entière sont plus grandes que i. Certaines d'entre elles peuvent avoir même partie entière que ;,.

M. us les racines de l'équation (16) qui correspondent à des racines de l'équation (i5) n'ayant pas a{ comme partie entière, sont plus petites <pie i, et, par suite, n'ont pas même partie entière que ç, .

Maintenant soit a-, cette partie entière de Ç|, nous poserons dans

l'équation ( i '>

L'équation qu'on obi uni pour ./•..

(i7) Mxi) = o

est encore algébrique et de degré m.