J VU
ou, en rendant homogène la fonction /,
f(P/cXk-h I'a-i, Q*** + Qa-i) = o,
ou en dé\ eloppant
P Q + C**)-I(P*-i/Pâ-+-Qii ../,.,)
Considérons les coefficients de cette équation, le premier esl
A0=/(P*,Q i = (Qa)
Posons
Il en résulte
V Q /■: Zk •
OU
A0=(Qa)4e*/s + — /{. + ■■•+ fi' I
| puisque /(Ç) = o].
Maintenant, d'après ce qu'on a vu au n° 226,
Donc
i^<(Q^[lAI-r^TIl/^H--^(nl/^K... 1..).,..'//.Ql^l/^l]
et comme Qa> i et que \f'\ |, l/jjsl, etc., sont plus petits que des nombres fixes | indépendants de /.), on voil que
a0 étanl un nombre positif fixe.
Le second coefficient de L'équation (18) est (en appelant m et i[ les dérivées de f(x) par rapport à x et à une variable d'homogénéité y),
a1=p*1/p4+q. ,/■„, qi «Q/ , ^ ;,<;;
Si Ton développe la quantité entre crochets, le terme indépendant des s se réduit à /*(!■), c'est-à-dire à zéro.*
Les termes du premier degré, par- rapport aux e, sont
THÉORÈME DE LIOl'VILLE. 187
ils sont plus petits en valeur absolue que 7^-A — multiplié par un nombre fixe.
Quant aux lermes de degré supérieur par rapport aux s, par exemple les ternies de degré p, en les calculant, on voit qu'ils sont plus petits en valeur absolue que des quantités de La forme
-^ — v n multipliées par des nombres fixes; a fortiori, sont
elles plus petites que - --- i multiplié par un nombre fixe. Il en résulte que
ia, <«iQr',
a, ('tant un nombre ûxe;
II en est de même pour tous les coefficients de l'équation (18).
Tous ces coefficients sont, en valeur absolue, plus petits que Q"~2 multipliés par des nombres fixes, indépendants de k.
ï2o6. De cette relation de grandeur à laquelle doivent satisfaire les coefficients des équations successives fk(%k) = o, nous allons en déduire une autre relative aux quotients incomplets eux-mêmes.
On sait, en effet, que la seule racine positive de l'équation f/c(xfc) = o est plus petite que
et a fortiori que
\ désignant la valeur absolue du plus grand coefficient négatif dans l'équation. Il en est de même, a fortiori, du quotient incomplet ct/,+i, d'où, d'après ce que l'on a dit plus haut,
y. étant un nombre fixe.
Ce théorème est dû à Liou ville, qui l'a démontré d'une autre façon (' ).
(') Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni alge brique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques 1 Journal de Liou ville, 1. \\l . La démonstration de Liouville est plus simple que la nôtre, mais elle ne donne pas le théorème de Lagrange commi 1 is particulier.
100 Ml VI'. Y. — LES NOMBRES INCOMMENSURABLES.
"257. Comme le remarque Liouville, ce théorème prouve l'existence de nomlnr> incommensurables transcendants, existence qui ii esl pas é\ idente a priori.
Il e>i. en effet, bien évident que l'on peul choisir une -uite de
nombres entiers ati a* "/,. ... tels que, quels que soient les
nombres fixes x el n. l'inégalité (19) ne soit pas vérifiée pour toute valeur tic /. ; il suffit, par exemple, de prendre
>Qi
la valeur de ]a fraction continue dont 1rs quotients incomplets sont a 1 , a-2, . . ., dhi ■ ■ • est nécessairement un nombre incommensurable transcendant.
s, IV. — Nombres algébriques du second degré.
258. Dans le cas où n =. 2, Q£ " se réduit à r, donc les inégalités précédentes montrent que les coefficients A0, A(, A2 sont inférieurs, en valeur absolue, à des nombres lixes.
Donc, après un certain nombre d'opérations on retombe sur une équation déjà trouvée; ces équations et, par suite, les quotients incomplets, se reproduisent périodiquement à partir d'un certain d'entre eux. On a donc le théorème de Lagrange, que nm^ avons déjà énoncé au n" 253 :
Les nombres algébriques du second degré se développent en I raction continue périodique.
259. \ n I importance de ce théorème, nous allons en donner une démonstration directe. Cette démonstration repose sur le lemme sun ant :
Lemme. — Soit une équation du second degré à coefficients entiers
a 1 -- bx -+- c = o.
Si i on pose
y ni étant un nombre cm ici-, y satisfait à une équation du second
