NOMBRES ALGÉBRIQUES DO SECOND DEGRÉ
degré à coefficients entiers
telle que
//- — 1 a'c'— bl — j ac.
En e(Tel, en remplaçanl se par sa valeur (21) dans l'équation (20), on trouve
ou
équation à coefficients entiers. Or, si l'on pose
on a
— 4 a'c' = ( xam -+- b)2 — \( ain- — bm ->r- c)a — b1
260. Ce lemme démontré, supposons que nous ayons à développer en fraction continue, une racine positive d'une équation du second degré. On sait qu'en suivant la méthode indiquée au n° 2oi, on est amené, après avoir trouvé un certain nombre de quotients incomplets, à une équation qui n'a qu'une racine positive. Nous raisonnerons donc sur une telle équation, c'està-dire sur une équation
dans laquelle a et c sont de signes contraires.
Soit ms la partie entière de la racine positive, nous devons
poser
et nous obtenons pour xK une équation du second degré
(»3) aix\-+- ôi^i-H Ci = o,
avant une seule racine positive, et, par conséquent, dans laquelle <i , et C\ sont de signes contraires.
Soit m2 la partie entière de La racine positive de cette nouvelle
igo cil VP. \ < - IS'OMBRl » IN< OMMENS1 RABL1 S.
équation, nous posons
;-, = mi ■+- — >
et nous obtenons pour r, une- équation
ayant une seule racine positive, et, par conséquent, dans Laquelle a2 el c2 sonl de signes contraires.
El ainsi de suite; les quotients complets successifs sont déterminés par les équations ■ • • i ) el les suivantes
":;■''; b3.T3-hC3
il , x\ — /'■, .'■, - -•■, — O,
el l'on a
(a5) 6! — jac = b\ — ^atCi = è| — {a2c2 = . . . ,
el . de pi us,
ac ' o, ai Ci < o, a : Ci o, ....
Mais le nombre des équations du second degré \.' -- lî.r + C = o satisfaisant à ces conditions esl limité. En effet, si Ton appelle A la valeur commune des 'quantités i > . on a
avec
On en déduit
d'où
On voit que si l'on appelle X le plus grand entier contenu dans y/A, le nombre lî ne peul avoir que les valeurs
D'ailleurs, à une valeur déterminée de H, correspond pour \ el C un système de valeurs devanl satisfaire à la condition
Le nombre de ces systèmes de valeurs esl égalemenl limité,
NOMBRES ALGÉBRIQUES Dl SECOND DEGRÉ. igi
Puisque le nombre des équations satisfaisanl aux conditions indiquées est limité, les quotients incomplets qui sont les racines positives de ces équations, sonl aussi en nombre limité. Donc, si l'on effectue la réduction «le x en fraction continue, il arrive un moment où l'on tombe sur un quotient incomplet déterminé par une équation identique à celle qui définissait un quotienl incomplet précédent. Il est clair qu'à partir de ce moment, les équations et, par suite, les quotients incomplets se reproduisent périodiquemenl .
Exemple. — Soit l'équation
Celte équation a une racine comprise entre 4 et 5; c'est celle que nous voulons développer. On a les équations suivantes :
[g ' j — iSx\ — i3 = o,
Xi = 2 H ,
Xk
iQxl — '>~>r, - 13 = o.
L'équation en xh est identique à l'équation en ,r, . On a donc x [~4, 2, 6, !. 2, 6, î. . . .1, la période étant
26J . La réciproque du théorème précéd< ni est vraie :
Toute fraction continue périodique est égale à un nombre algébrique du second degré.
ig2 CHAP. V. — LES NOMBRES INCOMMENSURABLES.
En effet, soient ak le premier quotient incomplet de la première période, // le nombre de termes de la période, de sorte que
et aussi
