NOMBRES ALGÉBRIQUES IU SECOND DEGRÉ
' st-à-dire une fraction de la forme
\u contraire, on appelle fraction continue périodique mixte, une fraction dont la période ne commence pas au premier quotient incomplet.
263. Posons-nous la question suivante : Etant donne un nombre du second degré, reconnaître si ce nombre se réduit en fraction continue périodique simple ou en fraction périodique
mixte .
D'abord un nombre du second degré négatif donne naissance à une fraction continue dont le premier quotient incomplet est négatif, donc nécessairement à une fraction périodique mixte.
Ne considérons donc plus que les nombres du second degré positifs.
Nous allons d'abord étudier la question réciproque de la question proposée, à savoir : suivant que la fraction continue est simple ou mixte, quelles sont les propriétés des racines de l'équation à laquelle satisfait celte fraction.
20 i. Théorème. — L'équation du second degré à laquelle satisfait la valeur d'une fraction continue périodique simple
a ses deux racines ./,, x2 de signes contraires. De plus, ces racines satisfait aux inégalités
— 1 < Xi < O < I < X, .
En effet, ^<>ii la fraction (28) I <i. b /, a, l>
l'équation a laquelle satisfait la valeur de celte fraction s'obtienl en faisant /. = 1 dans l'équation (26), ce qui donne [en se rappelant (n° 90). que P0=i, Q0=o, P, = o, Q< = i]
Qa*' ■+■ ( Qa-i - P/t)x - IV, = o,
i.|'l CHAP. \. LES NOMBRES INCOMMENSURABLES.
Il csi évident que cette équation a ses deux racines de signes coniraires.
I Vautre pari, la racine positive de cette équation, étant égale à la fraction continue (28), esl plus grande que a et, par suite, que 1 .
Enfin, si non- remplaçons x par — 1 dans le premier membre de l'équation, nous trouvons
Qa- -Qa-i+Pa-.Pa-i,
quantité évide inl positive; donc — 1 <^i extérieur aux racines;
(railleurs, ne pouvant cire plus grand que la plus grande, qui esl positive, il esl plus petit que la plus petite. Les inégalités (27) soni donc établies.
26o. Théorème. — L'équation du second degré, à laquelle satisfait la valeur d'une fraction périodique mixte, dont la partie irrégulière ne contient qu'un quotient incomplet, peut avoir ses deux racines x{, x-2 positives, ou ses deux racines de signes contraires; mais, dans ce (Ici nier cas, la racine négative est plus petite (/ne — 1 .
Soit
la fraction considérée.
La valeur de cette fraction est racine d'une équation <pii s'obtient en faisant k = 2 clans L'équation (26). On trouve ainsi, en remarquant d'ailleurs (pie I', = /// et Q, = 1 ,
n /,./■- — (P/,— mQh— Qh+i)x -h mP,,— V,, 1 = o.
Le produit des racines esl
ni P/,— P/,^1
<»u, en remplaçant !'/,+, par lV/,-\- ''// i-
Si m > /, comme d'ailleurs 1'/, > IV.«< ce produit esl positif.
NOMBRES ALGÉBRIQUES l>l SECOND DEGRÉ. 10,5
I bailleurs l'une des racines est égale à la valeur de la fraction continue <|uc l'on a supposée positive.
I >niic si ni > / les deux racines sont positives.
/// ne peut pas être égal à /, parce qu'alors la période commencerail au premier quotient incomplet, et la fraction serait périodique simple.
Si m<ili le produit des racines est négatif; les racines sont donc de signes contraires.
Remplaçons alors x par — 1 dansle premier membre de l'équation ; nous trouvons
( Q/, +■ P/J (i + /«)-( Pa-m -t- QA-hi )
ou, en remplaçant P/,+ , et Qa+i par /PA -)- P/,, et /Q/,-f- Qa i ,
(Q/, 4- Pa)(i ■+-/») — ( /Q/,-1- Q/t-, ■+- lPh + PA j)
nu
l Qa ■+■ Pa) (h- m — /) - (Qa-, + PA-, )•
Or i -j- ni — / étant négatif ou nul, ce résultat de substitution est négatif. Donc la racine négative est plus petite que — i .
266. Théorème. — L équation du second degré, à laquelle satisfait la râleur d'une fraction périodique mixte, dont la partie irrégulière contient deux quotients incomplets, a ses deux racines positives, excepté si le premier quotient incomplet est nul et le second plus petit que le dernier quotient incomplet de la période. Dans ce cas, les racines sont de signes contraires, mais la racine positive est plus petite que i.
la fraction proposée. On obtient L'équation à laquelle elle satisfait en faisant, dans l'équation (26), A = 3; on trouve ensuite, par un calcul analogue au précédent, pour produit des racines
Qa
Pa-h Pa-h Q Qa-h
196 CHAI'. \. — ll> MiMl;ltl> IM .OMMK.NSl ItAISl.lS.
// — l n'esl pas nul. car sinon la période commencerai! un rang plus loi qu'on n'a supposé. Donc, si m n'esl pas nul, les quantités — i — — > -"''— étanl plus petites que 1 , on voil que les deux
termes de la fraction soni du signe de // - /: donc cette fraction est positive, et les deux racines sont de même signe. D'ailleurs l'une d'elles I la valeur de la fraction continue) est positive. Donc elles le ><>ni toutes les deux.
Si /// = o, la fraction se réduit à
I 0, /', ci, b, . . . . I ', h . Ii /. . . . I .
Elle est égale à l'inverse de la fraction
Donc l'équation dont dépend la première fraction a comme racines les inverses de celle dont dépend la seconde fraction. Or on sait que, ou bien la seconde équation a ses deux racines positives (si //>>/), il en est alors de même de la première; ou bien la seconde équation a une racine positive plus grande que 1, et une racine négative (si /*-</); alors la première a une racine positive plus petite que 1 et une racine négative.
"267. Théorème. — L'équation du second degré, à laquelle satisfait la valeur d'une fraction périodique mixte, dont la partie irrégulière contient plus de deux quotients incomplets,
a ses deux racines positives.
En effet, soit
.../'. h. Ii I , a . b , . . . , l , .
celte fraction, la partie irrégulière contient h — 1 termes.
L'équation à laquelle satisfait cette fraction est l'équation (26). Le produit des racines esl
P*-|P*+ft-»-P<-8P*+A-l
Qa-i Qa+a-î — Qa-j Qa+a-i '
