NOMBRES ALGÉBRIQUES D1 SECOND DEGRÉ
qu'on transforme facilement en
( j>Pfr-i-f- P/i-i)P^h-t— Pa-î(^Pa+a-2+ P<-k/«-«)
(/> Qa-j + Q/.-3 ) Q/.+A-2 - Q*+J ( lQ.k+h-2 + Qam-A-3 )
ou
Pfr-s P/.M-A-2 Pa-2 Pah-A-2
Q*- 3 QA-f-A-3 Qa-2 QâH-A-2
^ ' Q^, Qa+a-2
, • 1. P*- 3 Pk+h—3 Qa-3 Q*+A-3 __„» Joc
o — / est un entier non nul tt — , 5 — — > ~ — > ~ sont des
'" 1 A- 2 "k+h-i Qk-t ^A-f-/,-2
tractions plus petites que 1; donc ce produit est positif. Donc les deux racines sont de même signe et, par suite, positives.
268. Conclusion. — Des théorèmes précédents on conclut que les racines de l'équation du second degré à laquelle satisfait une fraction périodique simple satisfont aux inégalités (27), mais que les racines de l'équation du second degré à laquelle satisfait une fraction non périodique simple n'y satisfont jamais. Donc :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre algébrique du second degré soit convertible en une fraction continue périodique simple est que ce nombre soit plus grand que 1 et que son conjugué soit compris entre o et — 1 .
Soit
a.r'- ■+■ 2 bx •+■ c = o
l'équation dont ce nombre est racine.
Les conditions précédentes donnent
269. Condition pour que deux nombres algébriques du second degré '•>■ tû' donnent naissance à deux fractions continues dont les /"/iodes soient formées des mêmes termes, 5 succédant dans le même ordre, les périodes ne différant que par le terme initial.
\ulrement dit, les deux périodes se déduisent lune de l'autre par permutation circulaire des élément-.
ig8 «H vl». V. — LES NOMBRES INCOMMENSURABLES.
Si les deui périodes étaient écrites sur une circonférence, de façon <[uc le dernier terme revînt se placer à côté du premier, elles seraient identiques.
Il est bien è\ idenl que cela re\ ienl à dire que les deux fractions continues sonl identiques à partir d'un certain quotient incomplet el réciproquement.
Donc la condition cherchée est (n° ^2X\ i qu'il existe entre les <leu\ nombres <■>. <■>' une relation de la forme
, o étant quatre nombres cnliers satisfaisant à l'une des conditions
Nous terminerons ces considérations sur les fractions continues périodiques par le théorème suivant qui nous sera utile plus tard :
