NOMBRES ALGÉBRIQUES DU SECOND DEGRÉ
on a, d'une part,
et, d'autre pari .
Xp— (xv = (— 1)*= — r.
Réciproquement, si l'on a
el
A p — fJW = — I ,
k est impair.
En effet, L'égalité x=- est un cas particulier de l'éga-
lité (G) du q° 233, co' et to étant égaux à #. Soit donc
ce développement étant écrit de façon qu'il ait un nombre impair >.p -f- i d'éléments (0 étant remplacé au besoin par 0 — i H — )> on en déduit, comme au n° 233, ti) .r = [a,3,...,0,/-t-;r] = [a, £,..., 8, t -h a,b,c, ..., La, ..., /,. . .1.
Si cette fraction est irrégulière, transformons-la en fraction continue régulière. On pourra dans la fraction (3i) trouver une période (a, b, . . ., /) assez éloignée, la (/.• -f- i)iène par exemple, telle que celte période et les suivantes ne soient pas changées.
Quant aux ip -+- i + kh éléments précédents, ils sont remplacés par des éléments dont le nombre est de même parité que
'/- -n- kh.
Le nombre de ces éléments peut donc être représenté par
nq ■+■ 1 ■+■ kh.
On obtienl ainsi
le nombre des éléments a' V. . .'Ç étanl
"/ i kh.
300 CHAP. V. — l.RS NOMBRES INCOMMENSURABLES.
Mais ce développement de ar, et ml régulier, doit être identique au développement
Donc les • ij -)- i -h / Ii premiers éléments constituent un certain nombre de périodes.
Donc >.(/-\-\ — kh est un multiple «le //. Donc il en c-i de même de irj -+- i . M ai < ■>. q -+- i est impair. 1 )onc //. qui est un diviseur àr iq — i, est lui-même impair (').
(') La recherche des caractères qui distinguée! les nombres commensurabies des incommensurables, les nombres algébriques des différents degrés entre eux, et enfin les nombres algébriques des nombres transcendants, est très peu avan
Il n'\ a guère à citer comme résultai positif, à pari ceux énoncés dans ce Cha pitre, tj u ■ • le théorème suivanl : les nombres e et - sont transcendants.
Les premières recherches relatives à ce sujet sont ducs à Lambert {Mémoires de l'Académie de Merlin, i — ' i i , p. a65).
La transcendance de e a été démontrée puni la première fois par M. Hennit. ( Sur la fonction exponentielle, Pari-: i^-'( ).
Celle de - .1 été démontrée pour la première fois par M. Lindemann {Aiathematische Annalen, Bd. 20, p. n3).
En ces derniers temps, M.. Klein a donné de ces deux transcendances la démonstration la plus -impie qui existe (voir Leçons sur certaines questions de Géométrie élémentaire. Rédaction française par J. Grif.ss: Paris, Nonj |
Jacohi a essayé de généraliser le théorème de Lagrange, pour les nombres algébriques «lu troisième ilegré, par un algorithme, généralisation des fractions continues. La question a été reprise par MM. Hermite el Charve, mais n'a pas été résolue complètement. (Voir Vorlesungen ùber die Natur der Irrationalzahlen. par Bachmann, p. ta5 el sui\. Leipzig, Teubner.)
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