CHAPITRE VI

§ I. — Formes quadratiques binaires. Formes contenues l'une dans l'autre.

271. On appelle forme nu polvnùme entier homogène. Les formes se classent, d'après le nombre de leurs variables, en formes à une variable deux variables on binaires, trois variables ou ternaires, etc.; et, d'après leur degré par rapport à ces variables, en formes linéaires, quadratiques, cubiques, etc.

Les formes dont nous nous occuperons ici sont à coefficients entiers, et les variables y sont supposées recevoir des valeurs entières. Aux nos 113 et 114 nous avons parlé des formes linéaires. Actuellement nous nous occuperons des formes quadratiques binaires.

272. Dans une telle forme, il y a trois termes, un terme en x-, un terme en xy et un terme en y- (x, y étant les variables). On peut supposer que le coefficient du terme en xy soit pair; car s il n'en était pas ainsi, on multiplierait la forme par 2, et l'on étudierait la forme obtenue.

Soit donc

a x- -h ib xy -+- cy-

uoe forme quadratique binaire.

Nous désignerons souvent cette forme par la notation plus simple (a, b, c).

Si b- — ac est un carré parfait, la forme quadratique se décompose en un produit de deux formes linéaires à coefficients entiers, divisé par a,

oi2+ ibxy -+- cy- = — (a x -f- by -+- \J b1 — acy)(o x -r- l>y — \J b1 — ac y)-

102 CHAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES UINUItF.S.

Nous supposerons donc à l'avenir que l>- — '/'■ n'est pas un cairc parfait.

Cette expression changée <!<• signe, soil ac — b2^ se nomme le discriminant de la loi nie cl nous le désignerons par D.

^7i>. Le problème qui qous occupera principalement es! de savoir quels sont les nombres qui sont représentables j>ur une forme quadratique binaire.

D'après les définitions données au n° 113 nous dirons qu'un nombre n est représenlable par la forme a x- -y- ■> bxy 4- cylorsqu'il existe des valeurs de x et y telles que

<i x'l-\- ibxy -+- cy- — n .

2,1 't . Représentation propre et impropre. Mais nous ferons immédiatement nue distinction. Nous dirons que la représentation du nombre n par la forme est une représentation propre, lorsque x et y sont premiers entre eux.

La représentation est impropre dans le cas contraire.

Supposons qu'un nombre n soit improprement représenté par une forme ax2-\- 2 b xy -f- cy* , soit 0 le plus grand commun diviseur de ./• el y\ soit

./■' <i > ' sonl premiers entre eux, et Ton a

" .c 1-\- xbx y -+- cy z — Si<

rj-

ce qui montre : 1" que // est divisible par o- ; 20 que .., est proprement représenté par la forme (a, b, c).

Il suit de là que pour trouver les formes qui peuvent représenter improprement un nombre donné, il suffit de diviser ce nombre par les diviseurs carrés qu'il peut avoir, et de chercher les représentations propres des quotients.

Inversement, pour trouver les nombres qu'une forme donnée peut représenter improprement, il suffit de trouver ceux qu elle peut représenter proprement, cl de les multiplier par des carrés quelconques.

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES. 2o3

\ partir de maintenant nous ne nous occuperons donc plus que tic la représentation propre, et il nous arrivera de sous-entendre le mol propre sans qu'il en résulte d'ambiguïté.

ï27o. Formes primitives ou non. — On dit que la forme

</'■' ■+■ ibxy -h cy-

est primitive lorsque les trois coefficients a, b, c n'ont pas de <li\ iseur commun.

Si la forme n'est pas primitive, soit o le plus grand commun diviseur de a, b, e, la forme peut s'écrire

8 ( a' x2 — ■> !>' xy -+- c'y*),

a './•- + ■> h './;i • — c'y- étant une forme primitive. On voit donc que l'étude des formes non primitives, et de la représentation des nombres par ces formes, se ramène à celle des formes primitives; mais nous ne supposerons pas d'ailleurs dans ce qui va suivre (à moins que nous ne le disions expressément) que les formes soient primitives.

276. Substitutions linéaires. — Effectuer dans la forme ax2-i- ibxy ■+■ cy2 = ( a, b, c)

une substitution linéaire ( s J, c'est remplacer dans cette forme

/■ par xx'-+- $y', y par yx'-h 8/

(nous supposons, bien entendu, les nombres a, [3, y, o entiers.) On obtient évidemment ainsi une nouvelle forme quadratique

a' x'2 ib'x' y' -t- c y'2 = ( «', b', c'),

en posant

a' = <v x2 -f- 2 b ay -+- cy2,

c' — a (3* 2b ^8 H cX

On dit que la forme (//, b' , e) est la transformée de la forme

/ 1 3 \ (a, b, c) par la substitution ( ^ • y., [$, --. 8 s'appellent respec-

'"I ill\r. M. ils POEMES QUADRATIQUES BINAIRES.

tivemenl [epremier, le second, etc. coefficient de la substitution. Comme nous ne nous occuperons que <!<• substitutions linéaires, il nous arrivera de supprimer le mol linéaire, sans qu'il en résulte d'ambiguïté.

277. Déterminant d' une substitution. Relation entre ce déterminant et les discriminants <l<-s deux formes. — On appelle

déterminant de In substitution le déterminant

PI * ■ o

Posons-le égal à A. Nous supposerons toujours A^o.