RADICAUX ET EXPOSANTS

20. Radicaux. — Ëtant donné un nombre positif a, on sait qu'il

existe un nombre positif a et un seul, rationnel ou irrationnel, dont la

puissance m" est égale à a; on appelle i la racine m* arithmétique

de fl, et on la représente par y a.

Le calcul des radicaux est Tensemble des règles qui permettent

d'effectuer les produits, les quotients, les puissances ou les racines de

radicaux donnés, en les ramenant à des calculs analogues effectués sur

les nombres placés sous les radicaux. Ces règles sont exprimées par les

égalités suivantes :

P I m .— mit 1—

\J\a= \Ja,

Pour vérifier la première, il suffît d'élever les deux membres à la puissance m; la puissance m* du premier membre est égale au produit des puissances m** des trois radicaux, et est égale à abc ; elle est bien égale à la puissance m' du second membre; comme les puissances m** des deux membres sont égales, ces deux membres sont également égaux.

On vérifierait de même la deuxième égalité ; la troisième cstTap-

plication de la première à p facteurs égaux à \! a ; enfin on vérifie la

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quatrième en élevant les deux membres à la puissance mp ; on peut obtenir la puissance mp' du premier membre en l'élevant d'abord à la puissance p, puis le résultat à la puissance m, et Ton obtient finalement le nombre a ; la puissance m/>* du second membre est aussi égale à rt, de sorte que l'égalité est vérifiée.

21. Corollaires. — Comme conséquences des règles précédentes^ nous mentionnerons les suivantes :

1° On peut faire sortir d'un radical un nombre dont l'exposant est un multiple de l'indice.

On a par exemple

comme cela résulte de la première égalité; on peut effectuer le premier radical et le remplacer par (i^b ; on a finalement

2° On peut multiplier ou diviser par un même nombre l'indice d'un radical et l'exposant du nombre placé sous ce radical. On a

car on a, d'après la quatrième égalité,

3° On peut simplifier un radical en divisant par un même nombre l'indice et l'exposant ; cela résulte de l'égalité précédente. On a par exemple

4° On peut réduire plusieurs radicaux au même indice, l'indice commun étant le plus petit commun multiple des indices donnés. On peut remplacer par exemple

par des radicaux ayant pour indice commun 12 ; il suffit d'appliquer le deuxième corollaire ; les radicaux seront égaux à