RADICAUX KT EXPOSANTS

5° Coinme application, on peut efl'ectuer le produit ou le quotient de radicaux d'indices différents en les ramenant d'abord au même indice ; on a par exemple

i«, — — li ï*.

\/ ah^ X\/ a%^ >C\/ ab"* = \/a^b^X ^a^b^X s/ a^b'"^

= V^«»%^^ = ab'^ ^y/b^ = fi¥ \/b,

2:2. Exposants fractionnaires. — On représente par définition le

radical y a"* par le symbole a « , dont l'exposant est appelé exposant

fractionnaire; par exemple, ya^ sera représenté par a^ . Pour que Tin-

troduction de ces exposants soit d'une utilité pratique en algèbre, il faut

d'abord qu'à un symbole «« corresponde une seule valeur numérique; or on peut substituer à la fraction — , sans en changer la valeur, toute

autre fraction équivalente ; il faut donc voir si a" est égal à a"' lorsque

C'est ce qui a lieu en effet ; pour le voir, il suffit de vérifier par

m mp

exemple que a " et a "'' représentent la même valeur numérique ; or ces

deux symboles représentent les nombres ya'" et ya'^^' et ces nombres sont égaux d'après le numéro précédent.

Après avoir justifié l'introduction des exposants fractionnaires, nous allons montrer que les règles de multiplication, de division et d'élévation aux puissances données dans le cas des exposants entiers s'appliquent encore aux exposants fractionnaires; nous allons vérifier que l'on a

(*) a" Xa" =0""'"' ,

/Q' I J!L\JL fL.PL

Dans la première égalité, le premier membre a pour valeur numé-

rique ya'^x.yaP; d'après le numéro précédent (5°), ce produit peut être

26 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

nq , nq I—— ng ,

remplacé par ya'"''x y/a"p= y/a^^+np , et c'est la valeur numérique

mq-¥np m p

du symbole a "'^ ou a " ^ , c'est-à-dire du second membre ; l'égalité est donc vérifiée ; on ferait de même pour la seconde, dans laquelle

— est supposé >> — .

Le premier membre de la troisième est égal à

et il est bien égal au second membre, ce qui vérifie l'égalité.

-1 -L J- + -L -L Exemple : a'x«®=«^ ^ = a ^ \

c'est la traduction de l'égalité i/a ya = [/a .

23. Exposants négatifs. — Nous venons de voir que le quotient

de a" par a'', lorsque — est supérieur à i, est égal à a" *'. Lorsque

les deux exposants sont égaux, le quotient est égal à l'unité, et l'exposant ^ devient nul ; on est amené, dans un but de généralisation,

à conserver encore dans ce cas l'égalité (2), et à dire par définition que le symbole a® est égal au quotient de deux puissances égales de a, c'està-dire égal à l'unité.

De même, lorsque — est inférieur h'-,\t quotient de a" par a''

peut être remplacé, en divisant les deux termes par a", par

a' " le symbole a" '^ a un exposant négatif, égal à — (^ j ; on conserve encore, dans un but de généralisation, Tégalité (2), et Tondit, par

-(^--] t définition, que le symbole a ^^ "^ est égal à —^ ou, plus sim-

plement, que a~' représente — , s étant un nombre positif entier ou

fractionnaire.

Nous allons montrer que les règles de calcul des exposants positifs