FORMULE DL' BINOME
OU bien, en réduisant les coefficients,
(m-hl)m(w-O ... (m - p -h \) ^p^i j,^p ^ ... H-am^i- 1.2.3 . . . p{p-hi)
ce dernier résultat est identique à celui que donnerait l'application de la règle au développement de (j*-f-a)'"+' ; elle est donc encore vérifiée dans ce cas, ce que nous voulions démontrer.
18. Propriétés des coefficienls du binôme. — On appelle coefficients du binôme les coefficients d? ar", flrjr^-', . . . , a^x^-f, . . . , a" dans le développement de (jr-f-«)'"; ils se déduisent du premier, qui est l'unité, par la règle que nous avons énoncée. Elle nous indique que les coefficients vont en augmentant tant que l'exposant de X reste supérieur à celui de «, puis vont en diminuant jusqu'au dernier, qui est égal à l'unité.
Les coefficients de deux termes équidistants des extrêmes sont les mêmes ; en effet, si l'on échange les deux lettres x et a dans la formule (1), elle devient
(2) ia -^xY = a"*-{~ — xa""-^ H -r—^ — - x^a"*-^ -h • • • -f- a?'" •
Comme les premiers membres sont identiques, les seconds doivent l'être et avoir les mêmes coefficients ; lorsqu'on les ordonne suivant les puissances décroissantes de la même lettre x, ceux de Tune des formules sont égaux à ceux de l'autre pris en ordre inverse ; il en résulte que les coefficients équidistants des extrêmes sont respectivement égaux.
Lorsque Ton veut trouver le développement de (-r — «)", il suffit de changer a en — a dans la formule (1).
Si l'on veut développer la puissance m' d'une somme ou d'une différence de plus de deux quantités, par exemple de x -h y -h z, on considère cette somme comme composée de deux termes, l'un x et l'autre a ^ y -h s ; on applique la formule du binôme, et Ton remplace ensuite les différentes puissances de y -\-z au second membre par leurs développements.
22 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE
19. Somme des carrés des n premiers nombres. — Nous nous proposons de calculer la somme
que nous représenterons par 2/)^ .
Le symbole 2 indique en général une somme de termes semblables à celui qui est écrit à la suite de ce symbole ; on écrit au-dessous et audessus delà lettre 2 les valeurs du premier et du dernier nombre entre lesquels s'étend la sommation considérée.
Nous nous servirons de la formule donnant [x-\-ay, et nous écrirons
{n-+-\y= [n-h\Y= n3-h 3«-^-f- 3fi -h 1 .
Faisons la somme de ces égalités membre à membre, et remarquons que les cubes se présentent dans les deux membres, sauf [n -+-1)3 nous aurons après réduction,
(n. -h 1)3 = 3(1'-^ H- 2* H- ... -f- n^) -f- 3(1 -f- 2 -i- • . • -f- n) -f- n -h 1 ; en remplaçant la somme des n premiers nombres par sa valeur ^ — - — -•,
mi
nous aurons
(„ -f- 1)3 = 3/^2/>^^-f-"'""^/ '^ -h /n- 1 , d'où, après réductions.
