Intégrale indéfinie. — On appelle fonction primitive ou

intégrale indéfinie d'une fonction f{x) une autre fonction dont la

dérivée est f{x) .

Toute fonction continue a au moins une fonction primitive, c'est rintégrale définie

¥{x)==fy(x)dx,

dont la limite supérieure est la variable x et dont la limite inférieure est un nombre fixe a arbitrairement choisi. Il existe une infinité de fonctions primitives de f(x), car on peut donner à la quantité a une infinité de valeurs ; nous allons voir que ces fonctions ne diffèrent de Tune d'elles que par une constante; si en effet F(x) et Fi(a:) désignent deux fonctions ayant f{x) comme dérivée, la différence Fi(j;) — ¥{x) a une dérivée nulle et elle est une constante (n° 130) ; nous avons donc, en désignant par C cette constante,

ceci nous montre bien qu'on obtient toutes les intégrales définies de f{x) en ajoutant à Tune d'elles une constante arbitraire.

On représente ordinairement par j f{x)dx, sans indication de

limites, une intégrale indéfinie quelconque de f{x).

278, Nous venons de voir que l'on obtient une fonction ¥{x) satisfaisant à la condition d'avoir pour dérivée f{x) en calculant une intégrale définie de f{x) entre des limites a et x; c'est ainsi que l'on opère lorsque f{x) est définie expérimentalement ou graphiquement ou bien n'est pas une fonction simple. Mais dans beaucoup de cas usuels, on suit une marche inverse ; on détermine d'abord, comrac nous l'indiquerons plus loin, une intégrale indéfinie de f{x) ; on en déduit ensuite les intégrales définies par le théorème suivant :

Si Von connatt une intégrale indéfinie F{x) d'une fo ne lion f{x), V intégrale définie de cette fonction entre les limites a et \ est égale à la différence F(X) — F(a).

Nous voulons démontrer que l'on a

*^f{x)dx=F{\) — F{a).

En efl'et, les deux membres ont même dérivée /"(X) ; ils ne peuvent donc différer que par une constante; or, ils s'annulent tous deux lorsque la différence X — a des limites d'intégration devient nulle dans la relation précédente ; ils sont donc égaux, ce que nous voulions établir. Si nous faisons X = 6^ nous obtenons la formule

^f[x)dx = ¥[h) — F{a),

que l'on emploie dans le calcul des intégrales définies ; il faut bien remarquer qu'elle n'est démontrée que dans le cas où f[x) est continue entre a et 6. Remarquons que la formule (2) du n** 274 peut s'écrire

F(ft) - ¥{a) = {b-a) f{c] = {b-a) F'(c) ;

SOUS celte forme, elle n'est autre que la formule des accroissements finis, démontrée au n° 129.