PROCÉDÉS D1NTÉ6RATI0N. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES
279. Intégration Immédiate. — Nous avons vu que l'on obtient l'intégrale indéfinie d'une fonction f[x) en déterminant une fonction ¥{x) ayant pour dérivée f{x) et en lui ajoutant une constante arbitraire C. Nous allons indiquer comment on effectue celte détermination dans les cas usuels.
La connaissance [des dérivées des fonctions simples nous permet d'écrire immédiatement les intégrales suivantes, où C désigne une constante arbitraire :
1 x^Jx = -f- C {m quelconque différent (le — i),
/ — dx = log x-h c (le logarithme est népérien),
fe-dx = e--hC. r^ = tga:-f-C,
J J cos^a:
rcos xdx=s\nx-hC, 1 -r^ — = — cotg a: -f- C ,
./ sin^x
/i . ^ r dx ( arc sin X -f- c ,
^inxdx = — cosic-hC, j = | J \/\ —X- {— arc cos x -f C ,
r dx
J i-hx^
arc tg a? -h C
Si la fonction f{x) est la somme de plusieurs autres, son intégrale est égale à la somme des intégrales de ces antres fonctions ; si Ton
multiplie la fonction f[x) par un facteur constant, son intégrale est aussi multipliée par ce facteur. Ces remarques permettent de trouver immédiatement l'intégrale d'un polynôme
f[x) = Aoa?'" -h Aix*"-' -h ... H- A^,x -f- A,„ ; elle est
Ao ~i+A, h ..• -}-A„,^-hA^x-hC.
280. L'intégrale F{x) d'une fonction f{x) a pour dilTérentielie
dF{x) = f[x)dx ;
si l'on peut mettre le second membre sous la forme (^{u)du, u étant une fonction de x, et si l'on sait trouver une fonction 4>(h) ayant pour dérivée cp(m), cette fonction est égale à l'intégrale F(x) ou n'en diffère que par une constante ; en effet, sa différentielle
c/cl>(ii) = (^iu)du
est identique à celle de ¥{x)y lés deux fonctions sont donc égales à une constante près.
Cette remarque est très utile dans le calcul des intégrales; on aperçoit souvent dans f{x) une quantité n renfermant la variable, et dont la fonction f dépend d'une manière simple ; on remplace alors f{x) et dx par leurs valeurs en fonction de u et de du, on intègre l'expression obtenue et l'on substitue enfin à u, dans le résultat, sa
valeur en fonction de x.
/dx — ; nous poserons 2x — 3 = w ; nous en tirerons 2dx= du^ et en remplaçant 2x — 3
. , , , dx i du
et dx par leurs valeurs, nous aurons — = — — ; nous serons
ainsi amenés à évaluer l'intégrale / - — dont la valeur est
-logu-l-C, ou bien --log(2x — Sj-f-C.
On se dispense souvent d'écrire la lettre u, et l'on pose immédiatement, dans l'exemple précédent, la suite d'égalités
/* dx /M d{2x — 3) 1 , ,,^ o\ , n
ft*vB
PROCÉDÉS d'intégration. — CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 369
/xdx I - ; nous
mettrons en évidence la quantité 1 — x', que nous désignerons par u ; sa différentielle — 2x dx sera égale à duy et nous pourrons écrire
-h G = — uT-4- C = — V^i — a:" -h C.
•fl
281 . Intégration par substitution • — C'est sur des considérations analogues aux précédentes qu'est fondé le procédé d'intégration par substitution; supposons que Ton remplace x par une fonction donnée <p(<) d'une nouvelle variable i\ on a dx = (f'{l)dt, et par
conséquent
f{x)dx = f[f{l)]^'{t)dl.
11 arrive souvent, par un choix convenable de la fonction <f{t), que l'expression ainsi obtenue est simple et que l'on sait trouver facilement la fonction O(0 dont elle est la différentielle ; cette fonction et l'intégrale F{x) de f{x) ayant même différentielle ne diffèrent aloi*s que par une constante ; c'est ce qu'on exprime par l'égalité
ff{x)dx = ff[9{W{t)dl;
il suffit de remplacer dans 0(^) t par sa valeur en fonction de x pour avoir l'intégrale de f{x) .
Exemple, — Soit à déterminer l'intégrale yy/l — x* dx ; posons
x = s\nl, nous en tirons V^l — x* = cos t, et dx = cos t d( ; nous avons par suite
y^V^l— x» dx = J cos* i dl ;
pour déterminer l'intégrale du second membre, nous remplacerons cos* t par -^ (i H- cos 2f), ce qui nous donnera
rcosUdt = -^ fdt-h-^ fcos2tdl = j + VoGT. — Math. sup.
sin2^
Gomme t est égal à arc sin x et que sin 2t est égal à 2 sin i cos t ow k 2x^\ — x*, nous aurons finalement
282. iDtégration par parties. — Si Té lément différentiel f[x)dx est mis sous la forme udvy u et v étant des fonctions de Xy ilya quelquefois avantage à utiliser Tidentité
d[uv) = n dv-hv du,
qui fournit la différentielle d'un produit ; on en tire, en intégrant le^ deux membres,
uv= I udv-\- I vdu,
d'où I u dv = uv — I vdu;
la recherche de Tintégrale donnée se ramène ainsi à ceUe de Tintégrale
fv du qui peut être plus simple que la proposée ; on dit que Ton fait
dans ce cas une intégration par parties.
Exemple. — Soit à détenniner l'intégrale f xsinxdx; posons u = x,
dv=&mxdx; nous en déduisons v = — cos a; et du = dx] nous avons par suite, d'après la formule précédente,
I x sin X dx = — X cos x — / ( — cos x dx) = — x cos a; -h sin a: -4- C.
283. Intégration des fonctions rationnelles. — Soit à déterminer l'intégrale
I (Dix)
/" et (p étant deux polynômes en x à coefficients réels. Si le premier est de degré égal ou supérieur au second, on commence par effectuer la division du numérateur par le dénominateur ; en appelant Q{x] et R(x) le quotient et le reste de l'opération, on a
PROCÉDÉS d'intégration. — CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 371
on est alors ramené à intégrer le polynôme Q{x), ce que Ton sait faire (n® 279), et à intégrer une fraction rationnelle dont le numérateur R(j;) est de degré inférieure celui du dénominateur.
Exemples. — Soit à déterminer Tintégrale
dx;
en effectuant la division du numérateur par le dénominateur, le quotient et le reste sont x -4- 1 et 5 ; on a par suite
F(x) =J{x + 1 )rfx -f- f2^ «/^ ;
la première intégrale est celle d'un polynôme du premier degré et est
égale à — -f- x ; la deuxième, qui est analogue à celle que nous avons considérée au n° 280, a pour valeur
|-log(2x-3)-4-C;
on a par suite
FW=-y-f-^
■Jlog(2x-3)4-C.
Comme autre exemple, soit à déterminer l'intégrale
en ordonnant le numérateur suivant les puissances de x peut le mettre sous la forme
— 2, on
a:2H-i = (x — 2-+-2)2H-i = ix — 2)«-+-4(x — 2)-h5, de sorte que Ton a, en divisant par 3(x — 2)%
3(x — 2y 3(x — 2) 3(.r — 2f 3(x — 2)« ' on est ramené à la somme des intégrales simples suivantes :
^^ = |,og(x-2)-^C,
et Ton a finalement
F(x)=l,og(x-2)-|^-f^ + C, C désignant comme toujours, une constante quelconque.
284. Cas où le déucmlDateur n'a que des racines réelles . — Nous supposerons désormais que Ton a effectué, comme nous Tavons dit,
la division de f{x) par ^(a:), ainsi que lintégration du polynôme <^[x];
R(x) nous ne nous occuperons que de la fraction , dont le numérateur
est de degré inférieur au dénominateur. Le procédé général d'intégration de cette fraction consiste à la décomposer en une somme de fractions simples correspondant aux différentes racines du dénominateur, et à intégrer séparément ces fractions ; nous supposerons d'abord que ^[x) n'a que des racines réelles.
Nous commencerons par déterminer les racines du dénominateur o (x) ; soient Xi,X2, ... ces racines, p, q, ... leurs ordres de multiplicité respectifs, nous pourrons poser
<p(x)=Ao(x — XiY{x — Xi)'' . . . ,
Ao étant une constante.
Wx) Nous mettrons ensuite —7-—- sous la forme d'une somme de frac-
tions dont les numérateurs sont des constantes et dont les dénominateurs sont les facteurs linéaires de (^(x) affectés d'exposants au plus égaux à ceux qu'ils possèdent dans l'égalité précédente ; nous écrirons par suite
<^(x) X Xi (x Xi)'^ {x Xi)'
X X2 (x — X-if fx X2)^
PROCÉDÉS d'intégration. — CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 373 ^
Nous déterminerons les numérateurs Â, 6, ... de ces fractions ^.
en multipliant les deux membres de Fégalité précédente par ^{x) et ]
identifiant les polynômes obtenus. Nous serons finalement ramenés à J
intégrer des fractions de la forme ou — ; les intégrales ^
sont respectivement A log (x — Xi) -f- C et —^ ^^-r 1- C .
Nous allons appliquer cette méthode à un exemple. Soit à intégrer la fraction
le dénominateur a une racine double égale à 0, et une racine simple égale à — ; nous poserons alors
2x' — X* XX* i
A, B, C étant des coefficients constants encore inconnus. Pour les déterminer, nous chasserons les dénominateurs, et nous identifierons les polynômes obtenus dans les deux membres ; nous aurons de cette façon régalité
4x2 — 6x-f- 1 = A(2x2 — x) -+- B(2x— i) -+- 2Cx2 ;
en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, nous aurons les relations
qui donnent
Llntégrale cherchée est alors égale à la somme des trois intégrales
2dx .
elle est égale à
4 logx-f- — — 2 log /^x — A.\ + G
285. Cas où le dénominateur a des racines imaginaires . — Nous savons qu'à chaque racine imaginaire telle que a + bi correspond la racine conjuguée a — bi avec le même ordre de multiplicité, et que le produit des facteurs linéaires [x — a — bi) [x — a -h bi) correspondant à ces deux racines est un trinôme du second degré, de la forme x^-\-px-\-q, à coefficients réels. Nous avons vu de plus (n° 196) que le polynôme f^{x) est toujours décomposable en un produit de facteurs réels, sous la forme
ç(x) = Ao(x — XxYix — X2Y . . . (j:* -hpiX -4- qi)''{x^ -+- PiX -h ÇaJ' . . . ,
Ao étant une constante, les facteurs suivants correspondant aux racines réelles, et les derniers aux racines imaginaires conjuguées.
Le cas le plus simple est celui où Ton a <p(x) = x^-\~i , et R{x) = 1 ;
la fraction à intégrer est alors — » et son intégrale est
dx
= arc tg j? -4- C ;
x^-hi
nous allons montrer que tous les autres cas se ramènent à celui-là, ou donnent lieu à des logarithmes ou bien à des fractions rationnelles, comme dans les cas précédents.
Supposons d'abord que (p(x) se réduise à un seul trinôme du second degré à racines imaginaires, et que R{x) soit du premier degré ; soit par exemple à déterminer l'intégrale
x^-hx-hi
nous mettrons le dénominateur sous la forme de la somme de deux carrés,
,«+x+i^(^+iy+|.
et nous ferons le changement de variable défini par l'égalité
en remplaçant x et dx par leurs valeurs en fonction de t et de d(j
PROCÉDÉS d'intégration. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 375
nous aurons
f 2x±3 j^^ f2+^M yij^^ r^ttw
di
Nous décomposerons la dernière intégrale en deux autres ; la première renfermera au numérateur 2tdty qui est la difFérentielle de ^* -+- 1 , et donnera lieu à un logarithme ; la deuxième renfermera seulement dl au numérateur, et donnera lieu à un arc tg ; nous obtiendrons de cette façon la somme des intégrales
il suffira alors de remplacer t par sa valeur en fonction de x pour obtenir le résultat cherché, qui est
log — (ic«+x-i-l)-h— ^arc tg -z:~-^-C.
286. Considérons maintenant le cas général ; nous décomposerons encore la fraction ; ■ en une somme de fractions simples ; celles
qui correspondent aux racines réelles du dénominateur, s'il en existe, auront la même forme qu'au n° 284 ; celles qui correspondent aux trinômes de la forme x^~\-px-^q auront pour numérateurs des constantes ou des expressions du premier degré et pour dénominateurs des puissances de ces trinômes, avec des exposants égaux ou inférieurs à ceux qu'ils ont dans f^[x) ; nous écrirons ainsi
Hx-hK
Lx-f-M
x^^p^x-\-qi
Sx
Nous déterminerons comme précédemment les coefficients inconnus entrant dans les numérateurs en multipliant les deux membres de
l'égalité précédente par <p(a:) et îdentifiant les deux polynômes obtenus; nous allons appliquer cette méthode à un exemple.
Soit à intégrer la fraction — r— -; le dénominateur a trois
racines doubles qui sont les trois racines cubiques de Tunité, Tune d'elles est réelle et égale à 1 et les deux autres sont imaginaires et sont racines du trinôme x^-\-x-\-i\ nous décomposerons donc le dénominateur en un produit de facteurs, et nous écrirons
i^x^^iy=={x—i)^{x^-hx-hi)K
Nous chercherons alors à décomposer la fraction en une somme de termes de la forme
x^-+-i A. B .O-hD. Ex
(x'— 1)2 x—i (x— 1)2 x*-hx-+-l (x^-hx-t-i)**
A, B, C, D, E, F étant des coefficients encore indéterminés; en chassant les dénominateurs et identifiant les polynômes obtenus, nous obtiendrons des relations qui permettent de calculer ces coefficients inconnus ; nous aurons de cette façon, après un calcul élémentaire,
et rintégrale sera ramenée à la somme des trois suivantes :
/*2 dx ri dx r\ xdx
J 9 (x-i)* J 9 x2-hx-+-l J 3 (x«-hx-f-l)«'
La première est égale à — ^ r î ^^ous avons vu dans le
n* précédent comment on intègre la deuxième ; nous allons appliquer à la troisième le même procédé de calcul qu'à la deuxième ; nous décomposerons le trinôme x* -f- x -{- 1 en une somme de deux carrés
— j -I- — , et nous ferons le changement de variable défini par
l'égalité ^ + "^ ~ 1/ T ^ » ^^^^ aurons de cette façon pour la deuxième
intégrale
n J^ - Ç\/'i dl 14v/3 (,
et pour la dernière
PROCÉDÉS d'intégration. CAS DES FRACTIONS RATIONNELLES 377
ri xdx ^ fi idi riy/â di
La première intégrale du second membre renferme au numérateur
tdt qui est la demi-différentielle de r^-f-1, et elle a pour valeur
il ne nous reste plus qu'à calculer la dernière qui ne se
ramène immédiatement à aucune des précédentes ; pour la déterminer,
nous formerons la différentielle de tttt' Q"* ^^*
, / dt 2t^dt
nous remplacerons au numérateur du dernier terme <* par (i* -h 1) — \ et nous aurons
, t dl 2dt . 2di dt , 2dl
en intégrant, nous obtiendrons Tégalité
dt
— -^- = — arctg/-h2 f
et nous en déduirons la valeur de la dernière intégrale ; elle s'exprime au moyen d'une fraction rationnelle et d'un arc tg.
En réunissant les résultats trouvés, et en remplaçant t par sa valeur, nous aurons finalement
Remarque. — Si l'ordre de multiplicité de deux racines imaginaires conjugtiées est supérieur à 2, les mêmes procédés de calcul que ceux que nous venons d'employer conduisent à des intégrales de la forme
/m TTT OU / — — -; la première de celles-ci est égale à
^, ^ — — : on ramène la seconde à une autre de même forme,
2(— n-hi)
mais d'exposant moindre en dénominateur, en utilisant la formule qui
donne la différentielle de — — - de la même manière que Ton a
employé la différentielle de — dans l'exemple précédent.
