X + AX

F(X-f-AX)— F(X)= f " f{x)dx— f f{x)dx= f " f[x)dx,

comme l'indique la formule (3). D'autre part, l'intégrale du dernier membre est égale, d'après la première remarque du n° 274, au produit de l'intervalle d'intégration X-l-AX — X = AX par la valeur que prend la fonction pour une valeur de la variable intermédiaire entre X et X -f AX ; si nous désignons par X -h 0 AX cette valeur, nous avons

F(X + AX) — F(X) = AX f{\ -f- 6 AX) ,

d'où nous tirons

FfX4-AX)— F(X) AX

= /-(X-f-6AX).

INTÉGRALES DE FONCTIONS d'uNE VARIABLE 365

Ces égalités nous montrent d'abord que raccroissement de F(X) tend vers zéro avec AX, c'est-à-dire que cette fonction est continue, d'autre part qu'elle a une dérivée égale à la limite de /"^X-f-ôAX), lorsque AX tend vers zéro; et cette dérivée est bien égale à /"(X), ce que nous voulions démontrer.

Remarquons que la différentielle de F(X) est égale au produit de sa dérivée f{\) par dX ; nous pouvons donc écrire

d ¥{x) = f{X.) dx ;

si nous remplaçons X par x, nous avons

d F{x) = f{x)dx ;

nous en concluons que la différentielle d'une intégrale définie dont la limite supérieure est la variable x est égale à la quantité placée sous le signe d'intégration ; de là vient le nom d'élément différentiel donné à cette quantité. Il résulte de là que l'on peut considérer une différentielle non seulement comme la partie principale d'un accroissement infiniment petit d'une fonction (n° 156), mais encore comme un élément d'une somme dont la limite est cette fonction elle-même ; les deux points de vue sont équivalents.