CHAPITRE III

287 . Cas d'un radical portant sur une fonction du premier degré.

— Nous nous proposons d'intégrer une fonction contenant rationnellement d une part la variable x et d'autre part un radical portant sur un polynôme ou une fraction rationnelle de cette variable ; une telle fonction rentre dans la catégorie des fonctions algébriques de x\ comme exemples, nous citerons

x^ . Ci . I r X*

2x\Jx — K,

yx — î /l— X*

Nous ne considérerons ici que les fonctions renfermant un radical portant soit sur un polynôme du premier degré, soit sur un polynôme du second degré, soit sur une fraction rationnelle du premier degré; le dernier cas se ramène du reste au deuxième, car on peut toujours remplacer un

radical de la forme \/ -^ — — par -; r- \/(ax -f- b) [a'x -f- 6' )

et le dernier radical porte sur un polynôme du second degré. Nous montrerons que par un changement convenable de variable on ramène l'intégration de ces fonctions à celle de poljnomes ou de fractions rationnelles ; nous avons vu au chapitre précédent comment on intègre ces dernières fonctions ; nous saurons donc trouver dans tous les cas l'intégrale d'une fonction algébrique de la forme que nous venons dlndiquer.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où la quantité sous le radical est du premier degré ; nous l'égalerons au carré d'une nouvelle variable et

nous remplacerons x par sa valeur en fonction de cette variable. Considérons par exemple la première des deux fonctions citées précédemment ; nous poserons x — 1 = ^^^ i étant la nouvelle variable ; nous en tirerons x=\-{-t^^ ^x — \ =t et dx = 2l (It; nous aurons alors

li^i^'^^^'y = /[^^^ + 2(1 + ty^cdc.

L'intégrale du second membre porte sur un polynôme entier et a pour valeur 2t-\-— i^ -h— l^ ] en y remplaçant t par ^x — 1 , nous

aurons le résultat cherché, qui est '■ — — ^x — 1 .

288. Cas d'un radical portant sur une fonction du second degré.

— Supposons que la fonction sous le radical soit un trinôme du second degré ax^-4~bx-\-c ; nous considérerons deux cas suivant que le coefficient de x^ est positif ou négatif. En faisant sortir du radical la valeur absolue de ce coefficient, nous pouvons toujours admettre que le trinôme est ramené à l'une des deux formes x^-{-px-\-q ou — x^~{-px-hq -

V cas. — Supposons que la fonction à intégrer renferme la variable x et le radical ^x- -\-px-\-q ; nous introduirons une nouvelle variable l définie par la relation

tz=x-h\/x^-hpx-\-q;

en faisant disparaître' le radical, nous obtiendrons une équation du premier degré par rapport à x; nous pourrons exprimer rationnellement au moyen de /, d'une part la variable x, et d'autre part le radical, qui a pour valeur i — x ; nous serons alors ramenés à intégrer une fonction rationnelle de (.

Exemple, — Soit à évaluer l'intégrale / ^==i ; posons

en rendant cette relation rationnelle, nous avons

i^ — 2(x-hx^ = x^-i-i, x =

nous en déduisons

y/x^H-i =i — x= ^ / ^ , dx =

et rintégrale devient

= loff / -f- C.

r j^ = fii = log

En remplaçant l par sa valeur, nous avons finalement

dx

t/x*-hl

= log(x+ v^x* 4- 1 ) -f- C.

2** cas . — Supposons que le coefficient de x' sous le radical soit négatif; pour que le trinôme — x* -h/?x -f- q soit positif, il est nécessaire qu'il ait ses racines réelles, et que x soit compris entre les racines ; si nous les désignons par a et h{b>a)y nous aurons

— X* -\-px -hq = [x — a){b — x) .

Nous ferons alors le changement de variable défini par Tégalité

X — a = (6 — if)^*;

X s'exprimera rationnellement au moyen de ^^ et il en sera de même du radical, car on a v/(x — a){b — x) = [/{b — x)*^* = (6 — x)t; nousseroDS donc ramenés à intégrer une fonction rationnelle de t.

Exemple, — Soit à déterminer l'intégrale

JV (»-^

dx:

cette intégrale rentre dans le cas que nous venons de considérer, car le coefficient de dx peut s'écrire -~ ~ /x(1 — x) et le nouveau

radical porte sur un trinôme dont le coefficient de x* est négatif; nous poserons x = (i — x)l*\ nous en tirerons

f« , 2i dt

X = ï ax =

nous aurons alors, en remplaçant x et dx par les expressions précé-

dentés,

comme t est égal à * / > nous aurons pour valeur de Fintégrale

289. Remarque. — Parmi les intégrales rentrant dans la catégorie

— == ; on sait, sans qu'il soit

nécessaire d'employer un changement de variable, qu'elle est égale à arc sin a: -4- C . On détermine quelquefois les intégrales de la forme

/^ en les ramenant à la précédente ; il suffit pour cela

^ — x^-\-px-k-q de mettre la quantité sous le radical sous la forme d'une différence de deux

carrés yH-4 (^""4)' et de poser x~ £^ = ^4 /y-h^;

on a alors

/dx r dt ' ^ n

= 1 = arc sm < -h C

= arc sin -f- C .

Un changement de variable analogue permettrait de ramener l'inté-

, f* dx . 1 * f* dt

grale | —==== a la forme j —^== que nous avons eva-

J Vx^-hpx-hq Jvi^-\-i

luée précédemment, et qui a pour valeur log (( -f- ^i^ -f-i) -f- C .

290. Intégration des fonctions trigonométriques . — 1*' Cas. —

Considérons d'abord un polynôme entier par rapport à sin x et cos x, c'est-à-dire une somme de termes de la forme A sin*" x cos" x, m et n étant des nombres entiers positifs et A un coefficient constant.

La méthode que l'on emploie pour intégrer une pareille fonction

consiste à remplacer les puissances et les produits des sinus et des cosinus par une somme ou une différence de sinus ou de cosinus des multiples de x; on se sert pour cela des identités

2 sin* a = i — cos 2a , 2 cos' a = 1 -h cos 2a ,

2 sin a sin 6 = cos {a — 6) — cos (a -f- 6) , 2 cos a cos b = cos (a — 6) -f- cos (a -+- 6) , 2 sin a cos 6 = sin (a -4- 6) -h sin (a ^ 6) ;

en les appliquant plusieurs fois successivement, s*il est nécessaire, on ramène la fonction à intégrer à une somme de sinus ou de cosinus dont on détermine immédiatement les intégrales.

Exemple. — Soit à évaluer Tintégrale f sïn^xcos^xdx; on a

1 il

sin* X cos* x = — {\ — cos 2x) (1 -f- cos 2x) = - cos* 2a?

1 1 /. . . > 1 cos4x

L'intégrale a pour valeur

cos 4x dx X sin 4j:

On peut dans certains cas utiliser les formules que nous avons données au n° 192 pour remplacer cos"* x et sin*" x par une somme de sinus ou de cosinus.

2" Cas. — Il arrive fréquemment qu'une fonction dépendant seulement de sin x et cos x peut se mettre sous la forme du produit d'une de ces deux quantités par une fonction de Fautre, c'est-à-dire sous la forme /"(sin x) cos a; ou f{eosx)s'mx.

Dans le premier cas, pour évaluer l'intégrale /^/"(sin a;) cos x dx on fera le changement de variable sin x=u, d'où cos xdx = da, et l'on sera ramené à calculer l'intégrale j f[u)du\ on fera de même dans le second cas, en posant cette fois cos x = u .

Exemple. — Soit /tgxdx; si nous y remplaçons tgx par

coso;

» nous voyons qu'elle rentre dans le cas que nous venons d'exa-

miner; en appliquant la méthode indiquée, nous poserons cosa? = u, d'où — sin xdx = du; nous aurons alors

rÉI}JLda: = ^ r^=:=logi2-f-C = — logcosx + C. J cosx J a

3* Cas. — Lorsque Ton a à intégrer une fonction rationnelle de sinx, cosx et tgx, un procédé général consiste à prendre comme variable

auxiliaire tg — = i; les lignes trigonométriques précédentes s'expriment

rationnellement au moyen de t, comme l'indiquent les formules

sin X = 1 cos X = » tg X =

dx est aussi une fonction rationnelle de t et de dt, car on a

x = 2arctff<, d'où dx = - -.

On est alors ramené à intégrer une fonction rationnelle de l .

/dx — ; en faisant sm X

la transformation précédente, on a

291. Intégration des séries. — Nous avons vu (n° 144) que si les termes d'une série entière

y = ao-h flix H- a^x^ -1- . . . -+. an-iX^~^ -f- anX^ -t- . . .

restent finis pour x = Xo, cette série est convergente pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à celui de Xq*, nous démontrerons dans une note placée à la fin du volume qu'elle est une fonction continue pour toutes ces valeurs de x.

Parmi toutes les fonctions primitives de y, considérons celle qui s'annule pour x = 0; nous allons démontrer que cette fonction est représentée par la série

/|r» nrt* J* T*" 1*^ "^

Y = flo -r -^ ^1 -^r "^ ^* "5" ^- • • • + ^n-l ^^n T -+-•••»

38 i CALCUL INTÉGRAL

dont les termes sont les intégrales des termes de y\ nous voyons d'abord que cette série est convergente en même temps que la série y, car ses termes sont' en valeur absolue inférieurs aux produits par X des termes con'espondants de cette dernière série.

Décomposons la fonction donnée en deux parties et posons

S„(x) désignant la somme des termes jusqu'à x^ et R„(x) le reste correspondant, puis prenons l'intégrale définie des deux membres de Tégalité précédente entre les limites 0 et x^ x étant inférieur à Xo en valeur absolue ; nous aurons

/ ydx= I Sn{x)dx'+- jh>n[x)dx.

Comme y est une fonction continue, le premier membre a une valeur bien déterminée, d'après le théorème d'existence de l'intégrale définie; la première partie du second membre est l'intégrale d'Un polynôme de degré n, et elle a pour valeur (n® 279) la somme

M/ «L> M/ Mi>ll «A/

i • 2 ' 3 - n ' n-Hi'

cette somme est constituée par les n-f- 1 premiers termes de la série Y . D'autre part, d'après la formule (2) du n® 274, nous avons

^'R„(x)(fx = xR„(ex),

0 étant compris entre 0 et 1 ; mais Rn(Ox) peut être rendu aussi petit qu'on le veut et tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment; nous en concluons que la somme des /i + 1 premiers termes de Y a une limite, par suite, que la série Y est convergente et que sa somme est égale à l'intégrale de y, ce que nous voulions établir.

ifne intégrale indéfinie quelconque de y ne diffère de la série Y que par une constante arbitraire.

Nous avons appliqué les considérations précédentes au développement en série de log (1 -4- x) et de arc tg x (n° 149). Elles se généralisent au cas où les termes de la série à intégrer sont des fonctions quelconques de x, pourvu que R„(x) tende vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, quelle que soit la valeur de x dans l'intervalle d'intégration.