CHAPITRE IV

292. Cas où l'on connaît Tintégrale indéfinie. — Lorsque Ton sait déterminer Tintégrale indéfinie F{x) d'une fonction f{x), Tintégrale définie de cette fonction entre deux limites a, b est égale, comme nous l'avons vu (n** 278), à la différence des valeurs de ¥{x) pour ces limites; c'est ce qu'exprime l'égalité

rf{x)clx = F{b)^F{a),

Cette formule n'est démontrée toutefois que dans le cas où f{x) reste continue dans l'intervalle {a, b); de plus, si la fonction F{x) est susceptible de plusieurs déterminations, comme arc sinx^ ou arc tg x, il faut choisir la même détermination pour les deux limites.

Supposons que l'on ait par exemple à calculer / ; l'inté-

grale indéfinie est la fonction arctgx-l-C, et l'intégrale définie est égale à la différence des valeurs de cette fonction pour x^= i et pour x=0. On doit choisir pour ces limites la même détermination de arc tg x, et l'on prend ordinairement celle qui reste comprise

entre — — et -f-^rî on a alors arctgi=— » arctgO = 0, etpar suite

dx

TT

-hx^ 4

293. Cas d'un changement de variable. — Il arrive souvent, comme on l'a vu au n** 281, que l'on détermine l'intégrale indéfinie d'une VoGT. — Math. sup. 25

fonction f[x) en changeant de variable; si Ton pose x = ^(<), et si (p [t) est une fonction continue, on a

ff[x)dx=ff[:i[l)]<^'{l)dt;

cette égalité, dont nous représenterons les deux membres respectivement par F(x) et 4>(0 ^^"s montre, d'une, part que Ton obtient l'intégrale F(x) de f[x) en remplaçant dans ^[t) l par sa valeur en fonction de x et, d'autre part, que <^{t) se déduit inversement de F(x) en y remplaçant x par îp(().

Supposons que Ton veuille déterminer l'intégrale définie de f[x) entre les limites a et 6, et que t varie d'une manière continue entre deux nombres 1^ et ti , lorsque x varie de a à b\ on a « = ?(^o)i ft = q>(^). L'intégrale cherchée est égale à la différence F(fe) — ¥{a) ; mais il n'est pas nécessaire pour la calculer de former effectivement la fonction F(x), c'est-à-dire de remplacer t par sa valeur en fonction de x dans <t>(^) ; on peut en effet remplacer la différence F(6) — F(a) par celle des valeui*s que prend ^[t) lorsque l'on donne à t les valeurs limites /o et U car on a manifestement

il suffîtdoncde déterminer la valeur de l'intégrale définie / /TtIOJ'P'IO^^

entre les limites /q et ^i de la nouvelle variable correspondant aux valeurs a et 6 de x.

Exemple. — Soit à calculer / /l — x^dx; nous avons vu (n° 281) qu'en posant x = sin f, on a

On peut supposer que t désigne le plus petit arc en valeur absolue dont le sinus est égal k x; cet arc croît d'une manière continue de

— — à -+-— lorsque x croît de — 1 à -f- 1 , il suffit alors de calculer la différence des valeurs du dernier membre pour < = — et

Si

t = — — 7 différence que l'on représente par la notation

mi

Comme sin2^ s'annule pour les deux limites, cette différence est égale à f ^-C — (— f -+-c)=f ^ et Ton a

294. Intégrales trigonom étriqués . — Soit f{x) une fonction trigonométrique qui est un polynôme entier par rapport aux sinus et aux cosinus de Tare x et de ses multiples 2x, 3a?, ... ; nous nous proposons de calculer l'intégrale (définie de f[x) entre les limites 0 et 2tz, En appliquant la méthode que nous avons indiquée dans le premier cas du n° 290, nous pouvons remplacer une puissance ou un produit de sinus et de cosinus d'arcs quelconques par une expression contenant linéairement le sinus ou le cosinus des sommes ou des multiples de ces arcs ; nous ramenons ainsi l'intégration de ({x) à celle de termes de la forme sinwix ou cos mx ou de termes constants.

Nous mentionnons en particulier les intégrales suivantes, qui sont souvent usitées, et où m et p désignent des nombres entiers quelconques : •

— cos mx

/ sin mx dx=^ (

r' • 2 j n^" \—co^2mx ; /x sin2mxV" / sm* mx dx= I z dx = l

Jo

^^ j / sin mxY^ ^

cos mx dx = ( ) ^ U ,

im /o ,'^'

r^^ \-hcos2mx

cos' mx dx= I ^-T-^^o^»^}^ j^

(x . sin2mx\^"

sin mx s\x\.px dx = j COS mx cospx dx= j

sin mx cospx dx=

Jo

cos (m — p)x — cos (m -f-/>)x ,

cos (m — p)x-hcos{m-\-p)x .

sin (m -f-/))x-|-sin (m — p)x .

Dans la 5* et la 6% m et p sont supposés différents ; dans la 7% m et p sont quelconques, égaux ou inégaux.

295. Séries trlgonométriques. — On appelle série trigonométrique une série dont chaque terme est, à un facteur constant près, égal au sinus ou au cosinus de la variable x ou de Fun de ses multiples entiers ; on peut toujours écrire une telle série sous la forme

(8) Ao-l-A|Cosx-|-A2COs2x-|- ••• -h Ai„ cos ma? -+- ••• -h Bj sin X -i-'Ba sin 2x H- • • • -h B„ sin mx -+--..

Une série trigonométrique, lorsqu'elle est convergente, représente une fonction périodique de x, la période étant égale à 2:r, car elle reprend la même valeur lorsqu'on augmente ou diminue la variable d'un multiple de 2ir.

Ëtant donnée une fonction quelconque f{x) , on peut se proposer

de la représenter, pour les valeurs de x comprises entre 0 et 27c, par

une série trigonométrique de la forme précédente ; si le problème est

possible, et si f{x) est une fonction périodique de période 2ir, elle

est égale à la série pour toute valeur de x, mais si f{x) n'a pas la

période 2tz, elle ne peut coïncider avec la série que dans Tinter-

valle (0, 2tt) ; la série et la fonction ont des valeurs différentes pour les autres valeurs de x.

Pour calculer les coefficients d'une série (8) égale à /"(x) pour x compris entre 0 et 2:r, on détermine les intégrales définies de la forme suivante

/ f{x)dx, I f{x)cosmxdx, 1 /"(x) sinmxrfx,

m prenant toutes les valeurs entières successives. La première est égale à

/ Aocrx-f- / Al cosxax-H • • • -h / Bi sinxax+ • • • ;

le premier terme de cette somme est égal à 2TrAo , et tous les autres sont nuls, d'après les égalités (i) et (2).

La deuxième intégrale, pour une valeur donnée de m, est égale à

I Ao cos mx t/x -h / Al cos x cos mx dx

Jo Jo

/»2rt