Bi sin X cos mxdx

d'après les égalités (2), (4), (6) et (7) tous les termes de cette somme

sont nuls, sauf le terme / A^ cos^ mx dx , qui est égala TrAm. La troisième intégrale est de même égale à

/ Ao sin mx dx-\- 1 Ai cos x sin mx dx

Bi sin X sin mx ao: -f- • • • ;

d'après les égalités (1), (3), (5) et (7), tous les termes de cette somme

Bm sin^ inxdx, qui est égal à tuB^ .

On conclut de là que Ton a

Ao = — — / f[x)dxy Am = — I f{x)cosmx dx,

Bm = — I f{x) sin mx dx ;

on obtient ainsi, en donnant à m les valeurs entières successives, tous les coefficients de la série (8) .

Il resterait à voir si la série ainsi formée est convergente, et si elle a la même valeur que f(x) pour toute valeur de x comprise entre 0 et 2?!; cela a lieu pour les fonctions usuelles, mais non pour une fonction f{x) quelconque, et il est nécessaire que f{x) satisfasse à certaines conditions ; nous n'entrerons pas dans le détail de la démonstration, car cela nous entraînerait trop loin.

296. Valeur d'une intégrale définie lorsque Féléuient différentiel devient infini . — Nous n'avons défini Tintégrale / f[x)dx que dans

le cas où la fonction f{x) reste continue entre a et 6; si elle devient infinie dans l'intervalle ou pour les limites, ce que nous avons dit ne

s'applique plus et le symbole / /(-c) dx n'a plus un sens déterminé.

Supposons, pour fixer les idées, que f{x) soit continue entre a et by sauf pour x = by où elle devient infinie ; considérons l'intégrale définie de f{x) entre les limites a et 6 — e, e étant une quantité quelconque aussi petite que l'on veut ; cette intégrale a une valeur déterminée ; si elle a une limite lorsque e tend vers zéro, on dit que le

390 CALCUL LNTÉGRAL

symbole / f[x]dx a un sens, et sa valeur est par définition la

limite précédente ; si la limite n'existe pas, on dit que le dernier symbole n'a pas de sens ou que l'intégrale de f[x) entre a et 6 n'a pas de valeur déterminée. Les mêmes définitions s'appliquent au cas où la fonction est infinie pour x = a ; plus généralement, si Ton suppose par exemple que fix) devient discontinue pour a et 6 et pour une valeur intermédiaire c^ on considère la somme des intégrales

(9) r~'*f{x)dx^- f'~''f{x)dx;

si cette somme a une limite lorsque 61,62» 63, 6^ tendent vers zéro d'une manière quelconque, cette limite est la valeur du symbole

f[x) dx ; si la somme (9) n'a pas de limite, ce dernier symbole n'a

pas de sens déterminé.

Lorsque l'on connaît l'intégrale indéfinie ¥{x) de f{x), et qu'elle reste continue pour toute valeur de a: comprise entre a et 6 inclusivement, quand même f(x) serait discontinue, on est certain que la somme. des intégrales (9), qui a pour valeur

a une limite lorsque les 6 tendent vers zéro, et cette limite est égale à ¥{b) — F(fl) ; l'intégrale de f{x) entre a et 6 a donc un sens

bien défini, et a pour valeur la différence précédente.

/'•■•■* dx Considérons par exemple l'intégrale / — rrr^-zz.- ; l'élément

différentiel devient infini pour les deux limites — 1 et -h 1 , mais l'intégrale indéfinie F{x) = arc sin x reste continue pour ces valeurs ; 1 intégrale définie a donc un sens, et a pour valeur

arc sm

in (-h 1 )— arc sin (— 1) = ^ — (-2^)= "^ •

iiOrsqu'on ne connaît pas l'intégrale indéfinie F{x), on compare la fonction fix) à une autre plus simple dont on connaît l'intégrale. Soit

par exemple l'intégrale | 4 / — dx, dont l'élément différentiel

devient infini pour la limite supérieure a ; la fonction f{x) reste,

entre 0 et a, constamment inférieure à y/o^— =', par suite,

la somme 2/'(x)Aa: reste inférieure à ya'^^-j='> et Ton a, en passant à la limite, ^

Mais l'intégrale indéfinie / , = — 2 ya — x -h C reste finie et

continue pour x = a^ et le second membre a la valeur 2^ pour e = 0; par suite, Tintégrale / f{x) dx, qui va en augmentant

quand e tend vers zéro et reste inférieure à un nombre fixe, a une limite déterminée.

Nous avons construit au n° 221 la courbe de variation de f{x) entre 0 et a; c'est une cissoïde, et elle a une asymptote d'abscisse a ; Taire comprise entre la courbe, Taxe des x et les droites

d'abscisses x = 0 et x=^a — < est égale à l'intégrale / f{x) dx

et elle a une limite lorsque la dernière ordonnée s'approche de l'asymptote, bien que cette ordonnée augmente indéfiniment.

Plus généralement, si f{x) devient infinie pour une valeur c comprise entre a et 6 ou égale à l'une de ces valeurs, et si l'on peut

poser f{x) ^ / \m"' ?(^) restant continue pour x=:c, on démontre, par des raisonnements analogues au précédent, que l'intégrale de (fx) entre a et 6 a un sens si m est inférieur à 1, et n'en a pas si m est égal ou supérieur à 1 .

207. Cas où les limites d*intégration deviennent infinies. — Nous avons supposé jusqu'à présent que l'intervalle d'intégration {a, b) reste fini ; nous allons étendre la notion d'intégrale définie au cas où l'une des limites, ou les deux deviennent infinies ; nous nous placerons d'abord, pour fixer les idées, dans le cas où la limite supérieure est infinie.

Considérons l'intégrale / f{x) dx^ et supposons qu'elle soit déterminée pour toute valeur de b supérieure à a ; si elle a une limite lorsque b devient infini, on dit par définition que cette limite est la

valeur de l'expression / f{x)dx\ si l'intégrale n'a pas de limite,

cette dernière expression n'a pas de sens.

Lorsque l'on connaît l'intégrale indéfinie ¥{x) de f[x) et qu'elle a

une limite déterminée pour x croissant indéfiniment, on est certain que F(6) — F(a) a une limite pour b infini ; on en conclut que l'expression / f[x)dx a un sens et que sa valeur est égale à F(oo ) — F(a).

Les mêmes considérations s'appliquent au cas où a décroît indéfiniment. Par exemple, l'intégrale définie

rT^=(«'-'^*«^x

a une limite pour b croissant indéfiniment ; si l'on prend en effet, comme au n** 292, l'arc compris entre — ^ c* "^"ô"» arctgoo a pour valeur — ; on a par suite

dx TZ .

= — — arc tg a ;

i-ha;« 2

pour une raison analogue, la même intégrale a une limite lorsque a décroît indéfiniment, et l'on a

r^'* dx ' TZ (TZ\

Comme dans le numéro précédent, on peut souvent, sans calculer l'intégrale indéfinie, reconnaître si elle reste finie pour x infini, et si l'intégrale a un sens lorsque l'une ou l'autre des limites deviennent infinies ; on compare pour cela l'intégrale donnée à celle d'une fonction

plus simple. En particulier, si l'on peut écrire f[x) = ^ ^ ^ ^ ^{x)

restant fini pour x infini, on démontre que l'intégrale de f[x) prise entre des limites infinies a un sens pour m supérieur à 1 et n'en a pas pour m égal ou inférieur à 1 .

298. Calcul approché des intégrales définies. — Il n'est pas toujours possible d'exprimer l'intégrale indéfinie d'une fonction quelconque f[x) au moyen de fonctions connues en nombre limité ; il existe aussi des fonctions, telles que celles qui sont définies graphiquement ou par des expériences physiques, dont on ne peut représenter l'intégrale par une formule analytique. Lorsque le calcul de l'intégrale indéfinie d'une fonction f[x) est impossible ou trop com-

pliqué, on évalue Tintégrale définie de cette fonction entre des limites données par des méthodes différentes de celle que nous avons indiquée précédemment ; ces méthodes fournissent non une valeur exacte de Tintégrale cherchée, mais une valeur approchée suffisante dans la pratique ; on peut du reste faire en sorte que Terreur commise soit aussi petite qu'on le veut.

Un premier procédé consiste à effectuer le développement en série de f{x), d'après la formule de Taylor ou celle de Maclaurin (n° 146) ; si les limites d'intégration sont comprises parmi les valeurs de x.pour lesquelles la série est convergente, il suffît, d'après ce que nous avons dit (n** 291), de prendre les intégrales définies des termes successifs et de calculer la somme de la série obtenue. En conservant seulement les premiers termes de cette série, on obtient une valeur suffisamment approchée de l'intégrale définie.

Exemple. — Soit à déterminer l'intégrale / sin -— - dx ; d'après la formule donnant le développement en série de sinx (n° 147), on a

TtX*

^-KX^ { /tcx^Y 1 / 7ix^ Y "~2 6V2/"^120V2/

la série est convergente quel que soit x ; en intégrant entre 0 et x, on a

j^s.n-^rfx = ----^-j- + — (^^j— - ...

En faisant x = 1 , on a pour valeur de l'intégrale cherchée 0,5 236 — 0,0 875 -h 0,0 069 — 0,0 003 H- ... = 0,446, à un miUième près.

299. Méthode des trapèzes. — Pour calculer l'intégrale définie de la fonction /(x) entre a et ^, h étant plus grand que a, il suffit, d'après ce que nous avons dit au n° 275, de déterminer l'aire comprise entre la courbe représentative de cette fonction, l'axe des oc et les ordonnées d'abscisses a et b\ chaque portion de cette aire est prise positivement ou négativement suivant qu'elle est située, par rapport à Ox^ du côté des y primitifs. ou du côté opposé.

Nous supposerons, pour fixer les idées, que f{x) garde un signe

constant, et est positif entre a et b. Soient AB (fig. 82) la courbe représentative de f{x] entre ces limites, PA et QB les ordonnées des points A et B dont les abscisses sont égales à a et b; nous obtiendrons une valeur approchée de Taire PABQ en inscrivant dans Tare ÂB un polygone AA1A2 . . . , traçant les ordonnées PA, PiAi, P2A2 , . . . des sommets de ce

polygone et évaluant la somme des aires des trapèzes inscrit* PAAiP, , P,A,A2P2, .... Ordinairement, on partage le segment PQ de Taxe des x en parties égales ; si n est le nombre de ces parties,

chacune d'elles a pour valeur

; en désignant par ^o^yn

y„,,y„ les valeurs des ordonnées des points A, A,, . . . , B, calculées ou mesurées sur la figure, la somme des trapèzes a pour valeur

2n ou bien

iyo-hyi)

Cvi -^ y*)

Une modification a été apportée à cette méthode par Tchebitcheff; on obtient une valeur très approchée de Taire en déterminant seulement six ordonnées de la courbe. A partir du milieu du segment PQ, on porte sur Taxe des x, et de part et d'autre de ce milieu, des longueurs égales à

et Ton calcule les six ordonnées correspondantes ; la formule

(yi -^-y2-hyi + .y4-hy5-+-y6)

donne une valeur approchée de Taire.

300. Méthode par intei-polation . — Si Ton connaît seulement les valeurs de la fonction f[x) pour les valeurs Xq , aii , 0:2 ? . . . a:„ de la variable comprises entre a et 6 ou égales à ces limites, on sait déterminer, parla formule de Lagrange (n° 152) ou par celle de Newton (n'' 154), un polynôme u de degré n, qui prend les mêmes valeurs que f[x) pour ces n -{- 1 valeurs de la variable.

En substituant à f[x) ce polynôme, et en en prenant l'intégrale définie entre a et h, on obtient une valeur approchée de l'intégrale de fix) entre les mêmes limites.

301; Dérivée d'une intégrale définie par rapport à un paramétre.

— Supposons que Ton intègre entre deux limites a et 6 une fonction f[x, a) dépendant de la variable x d'intégration et d'un paramètre a ; Tintégrale sera une fonction de ce paramètre en même temps que des limites; nous la représenterons par ¥[a, b, a), et nous écrirons

¥{a,b,oi)= Tfix, tx)dx;

nous nous proposons de déterminer la dérivée de F par rapport à a.

Nous nous limiterons au cas où a et 6 sont indépendants du paramètre; en donnant à a un accroissement Aa, nous aurons

F(a, b, a-}-Aa)= ff{x, a-f-Aa)t/x.

Supposons que f{x, ot) possède des dérivées du premrer et du second ordre par rapport à a, et écrivons, en appliquant la formule de Taylor

r- . K^ ri ^ . . ^/"(^; «) Aa* ô^^x, a -h 6Aa) . f\Xy a-f-Aa) =/-r» aj -h Aa ^ \ ^ ^ -4- -^ * \ .> -\

supposons, de plus, que le dernier terme soit une fonction de x finie et continue dans l'intervalle d'intégration.

L'intégrale de f{x, «-4- Aa) est égale à la somme des intégrales des trois termes du second membre de la relation précédente ; comme Aa est une constante quand x varie, nous avons

F(a, 6, a-4-Aa)= TVl^, «W^ + Aa TM^l^dx

Ja Ja Ôa

Aa«

Ja ^^^

nous en concluons

Lorsque Aa tend vers zéro, le dernier terme est le produit de —

par une intégrale qui reste finie d'après les hypothèses faites, et ce terme tend vers zéro; nous en concluons que le premier membre a une limite, et que cette limite est égale au premier terme du second membre, ce que nous exprimons par la formule

ôa Jn ôa

Nous pouvons donc, dans le cas où les limites a^h et la fonction f[Xy a) remplissent les conditions données, énoncer le résultat suivant :

Théorème. — La dérivée de V intégrale définie d'une fonction f(x, a) par rapport au paramètre a est égale à l'intégrale définie de la dérivée de cette fonction par rapport à ce paramètre.