CHAPITRE V
302. Aire des surfaces planes • — En coordonnées rectangulaires, Faire comprise entre un arc de courbe y = f{x), Taxe des x, et les ordonnées d'abscisses a et 6 (6 >> a) est fournie, comme nous Tavons \u au n° 275, par Tintégrale définie
J^ydx ;
si y est positif, cette intégrale est positive et donne la valeur absolue
de Taire ; si y est négatif, Tintégrale est négative et donne la valeur de Taire prise en signe contraire. Nous allons considérer quelques exemples.
Parabole. — Soit la parabole représentée par Téquation y^ = 2px {fig, 83) ; soit OM un arc de cette courbe situé dans Tangle positif des axes de coordonnées entre Torigine et un point M d'abscisse donnée b; Taire comprise entre cet arc. Taxe des x et Tordonnée PM du point M est égale à
rydx= r[2pyx^dx.
Fig. 83.
L'intégrale indéfinie est égale à ^ [2p) ^x^ ; en la prenant entre les limites 0 et 6, on a
aire OMP
\[2pyb^=^bs/lpb',
comme le produit b^2pb est égal à OPxPM et représente Taire du rectangle OQMP, on voit que Taire OMP est égale aux deux tiers de celle de ce rectangle.
Hyperbole. — Soit Thyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes et représentée par Téquation xy = ky k étant un nombre positif (fîff. 84) ; soient A et B deux points de la courbe d'abscisses positives a et 6 ; Taire PABQ, comprise entre Tare AB, Taxe des x et les ordonnées PA et QB de A et B , est égale à
/ ydx==
kdx
Ja X
A(log b —
log a)
= A log
Si a et A: sont égaux à Tunité, Taire est égale à log 6.
Aire intérieure à l'ellipse. — Soit Tellipse représentée par Téquation
— j- -+-4j — i = 0 î Taire du quadrant compris dans Tangle positif des
axes de coordonnées, entre la courbe et ces axes, est égale à Tintégrale
/ ydx. Pour Tévaluer, il est plus simple de changer de variable et
d'exprimer x et y au moyen du paramètre angulaire (p (n° 92) ; on a
x= a cos ç, y = 6 sin <p , d'où dx = — a sin ç df ;
Tintégrale indéfinie I ydx est alors égale à /( — a6 sin^ 9) ^o ; on obtient sa valeur en remplaçant sin*cp par ^ — Tîî., ce qui donne
/ ( — ab sin* çp)^/^ = / j — ab~
— cos 2gp
— a6(p ab sin 2^ = —2 ' 4 ^^-
APPLICATIONS DES INTEGRALES DÉFÎMES
Lorsque x varie de 0 à a, cp varie de — à 0; d'après ce que nous avons dit au n° 293, l'intégrale cherchée est égale à la différence des
valeurs de Tintégrale indéfinie précédente pour <p = 0 et ^ = ^ ' et
ah cette différence est égale à — r— ; comme elle représente Taire d'un
quadrant, on en conclut que Vaire intérieure à V ellipse est égale à nab .
Fig. 85.
303. Cas d'une courbe fermée. — Considérons {fig. 85) ime courbe
fermée C; supposons, pour simplifier, qu'elle ne se coupe pas, et qu'elle n'est rencontrée par une parallèle à Oy qu'en deux points tels jue Mo et Ml . Pour évaluer l'aire intérieure à cette courbe, nous tracerons d'abord les tangentes parallèles à Oy ; soient A et B leurs points de contact, PA et QB les ordonnées de ces points ; l'aire comprise à l'intérieur de C est égale à la différence
entre les aires PAMiBQ, PAMoBQ, limitées par l'axe des x, par les
ordonnées extrêmes et par les arcs AMiB et AMqB .
Si a et 6 sont les abscisses des points A et B , si ^o ^t i/i
désignent les ordonnées NM©, NMi des points de C correspondant
à une même abscisse x, yi étant !>yoî nous aurons pour valeur
de l'aire cherchée
ry^dx— lyodx= l{yi — yo)dx,
On vérifie sans peine que cette formule, démontrée dans le cas où yo et i/i sont positifs, s'applique encore au cas où la courbe C est coupée par l'axe Ox ou lorsqu'elle est placée par rapport à cet axe du côté des y négatifs.
304. Cas des coordonnées polaires . — On se propose ordinairement en coordonnées polaires, d'évaluer l'aire d'un secteur compris entre
400 CALCU;. INTÉGRAL
un arc AB de courbe, et les rayons vecteurs OA et OB aboutissant
aux extrémités de cet arc [fig. 86).
Soit p = /"(ô) Téquation de la courbe donnée, 60 et ôi > 60 les angles polaires des points A et B ; partageons Tangle 61 — Go en un certain nombre de parties telles que MON dont nous ferons croître le nombre indéfiniment, tandis que chacune d'elles tendra vers zéro ; soient p et 6 les coordonnées du point M , p -h Ap et 6 -f- Aô celles du point N .
L'aire MON est comprise entre les aires
des secteurs de cercle MON' et M'ON d'angle AÔ et de rayons p et
p*Ae p-hAp; les mesures de ces secteurs sont respectivement ^ et
(p f Ap)«A6
^ -^ > et ces quantités infiniment petites ont même partie prin-
p»Ae.
Fig. 86.
cipale égale à
la partie principale de Taire du secteur infini-
ment petit MON est donc aussi égale à la valeur précédente.
La limite de la somme des secteurs MON est égale, d'après le théorème fondamental du n° 272, à la limite de la somme de leurs par-
lies principales, c'est-à-dire de la somme 2-^-ô — ' si p est une fone-
tion continue de 0, on sait que cette somme a une limite, et cette limite est égale à l'intégrale définie
cette intégrale est la valeur de l'aire du secteur AOB.
Exemple, — La lemniscate (n° 221 ) a pour équation p* = 2a* cos 26 ; l'aire comprise entre la courbe et les directions positives des axes de coordonnées, c'est-à-dire la moitié de la boucle, est comprise entre les
rayons dont les angles polaires sont 6 = 0 et 6 = y ; elle a pour ^ ic 4 •
valeur H ^^ =. p" a2cos26 c/Ô.
L'intégrale indéfinie est égale à — — , et l'intégrale définie
APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFÎMES 401
à — ; Taire de la boucle entière, qui en est le double, est donc égale à a^.
305. Rectification des courbes. — Considérons d'abord une courbe plane. Nous avons dit (n* 161) que la longueur d'un arc de courbe est la limite du périmètre d'une ligne polygonale inscrite dans cet arc, lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro. Nous supposerons, pour nous placer dans le cas général, que les coordonnées a; et y d'un point de la courbe sont des fonctions d'un même paramètre t .
Un côté infiniment petit de la ligne polygonale a pour valeur v/Ax* -4- Ay* , et sa partie principale est la quantité que l'on obtient en remplaçant Ax et Ly par leurs parties principales, c'est-à-dire par les différentielles dx et dy qui ont pour valeur x\^i et y/A^ La limite de la somme des côtés de la ligne polygonale est, d'après le théorème fondamental du n° 272, égale à la limite de la somme des paiiies principales, c'est-à-dire à 2/^x*-f-c/y* ou à ^>Jx'{^^y\^^i\ si X et 1/ sont des fonctions continues de iy ainsi que leurs dérivées, V^xi*-}-y!* est aussi une fonction continue, et la somme précédente a une limite égale à l'intégrale définie ( ^ x'^ -\- y'^dt prise
entre les limites attribuées à t\ on en déduit que l'arc s de la courbe est représenté par l'intégrale précédente ; en remplaçant x[di et y[di par dx et dy^ on écrit cette intégrale sous la forme
s= Çs/dx^-^dy^.
On déduit de là que la différentielle ds de Tare a pour valeur
ds = )/dx^-^dy^\
nous avons déjà employé cette formule dans les applications géométriques du calcul différentiel ; on en déduit aussi que le rapport d'un arc à sa corde a pour limite l'unité ; en effet, d'après le théorème du
n** 155, cette limite est égale au rapport des différentielles de ces deux
ds Cl nantîtes, et ce rapport — ==== est égal à l'unité. ^ \/dx'-^-dy^ ^
Si X est la variable indépendante, et y une fonction donnée VoGT. — Math. sup. 26
402 CALCUL LNTÉGRAL
de X, on a dy = y'dx, de sorte que Tare est donné par la formule
s— r*V* -+-y" dx,
tJ Xa
Exemple. — Considérons Tellipse représentée par Téquation — H- yy — 1=0; eh considérant x comme variable indépendante,
a:* y on a
bx
la longueur de Tare d'ellipse compris entre les points d'abscisses Xq et Xi est, en appliquant la formule précédente, égale à
^ P /fl.4 (^2 6^)j.2
Pour simplifier cette intégrale, on pose x = at; en introduisant
l'excentricité e définie par e = — = ~ 1 et en désignant par
/o et ti les valeurs de / correspondante Xo et Xi, on obtient
= dt.
eH^)
On est ramené à évaluer l'intégrale d'une fonction algébrique; elle renferme un radical portant sur un polynôme du quatrième degré. On ne peut évaluer cette intégrale au moyen des fonctions élémentaires, et elle constitue une fonction transcendante nouvelle que Ton appelle intégrale elliptique parce qu'elle se présente, comme on le voit, dans le calcul des arcs d'ellipse.
Lorsque e est petit, on obtient une valeur approchée d'un arc d'ellipse en développant l'élément différentiel en série ordonnée suivant les puissances de e^ et calculant les intégrales des termes de la série ainsi formée.
306. Pour déterminer la longueur d'un arc de courbe en coordonnées polaires, on remplace, comme nous l'avons vu (n° 170), dx^-{-dypar Jp2 -+- p* J6'^ ; on a alors à évaluer une intégrale dont l'éléraent différentiel est
ds^^^dc^-hp^db^-
La longueur d'un arc de courbe gauche est la limite du périmètre d une ligne polygonale inscrite dans la courbe, lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.
Un raisonnement analogue à celui du n^ précédent montre qu'elle est égale à une intégrale dont l'élément différentiel est
ds = sjdx^ + c/i/« -f- dz^ .
307. Évaluation des volumes. — Pour déterminer le volume compris à l'intérieur d'une surface donnée, et limité par deux plans
parallèles [fig. 87), on le décompose en tranches infiniment petites par des plans parallèles à ces deux-là, et l'on détermine la limite de la somme de ces tranches. Supposons que l'on prenne des axes de coordonnées tels que les plans sécants successifs soient parallèles au plan des xy ; soient Ao et Al les cotes des plans extrêmes limitant le volume, z celle d'un plan intermédiaire quelconque P et z-\- \z celle du plan voisin P'. L'aire dune section quelconque varie en général avec z ; désignons par A(z) sa valeur; le volume infiniment petit compris entre les plans P et P' diffère d'une quantité infiniment petite par rapport à lui du volume d'un cylindre dont la hauteur est Az et dont la base est la section par le plan P; ce dernier volume a pour valeur A(z)Az et constitue la partie principale de la tranche comprise entre les plans P et P' à l'intérieur de la surface donnée. Le volume total compris entre les plans extrêmes est, d'après le théorème fondamental du n° 272, égal à la limite de la
somme de ces parties principales, c'est-à-dire la limite de 2A(z)Az; si A(z) est une fonction continue de z, cette limite existe et est
Fig. 87.
égale à l'intégrale
(1) v= r'k[z)dz.
Considérons par exemple Tellipsoïde représenté par Téquation
et cherchons le volume intérieur à cet ellipsoïde. Si nous le coupons par un plan de cote z, la section est une ellipse dont Téquation est
flî "*" 62 c«
ou bien
Sous cette forme, nous voyons que les demi-axes de cette ellipse ont pour valeurs
la surface de la section est égale à i:a'b' (n° 302) ; nous aurons donc
Le volume s'étend entre les plans extrêmes de cotes — c et -h c; il a pour valeur l'intégrale
V = £' r.ab (i - ^ ) dz = .«6 {z - £-)^' = I .abc.
Lorsque a ^=b = c, on retrouve le volume de la sphère —Tza^.
308. Volumes de révolu! Ion. — La méthode précédente s'applique en particulier à la recherche d'un volume de révolution, ou d'une portion d'un tel volume comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe. Prenons l'axe de révolution comme axe des z, et désignons par r le rayon d'un parallèle de cote z ; l'aire de ce parallèle a pour valeur
Tcr^; nous avons donc, en appliquant la formule (1), (2) V= pi:r*dz.
Comme exemple, considérons le volume du segment sphérique compris entre la surface d'une sphère de rayon R et deux plans parallèles dont les distances au centre sont ho et Ai. En prenant Forigine au centre de la sphère, et Taxe des z perpendiculaire aux bases du segment, nous avons r* = R^ — z*, d'où, en appliquant la formule précédente,
V= r'-K{R^—z^)dz = n(R^z — ^\
3 \A, An
= x(A, - Ao) (R' - Mdlhh^hM\ ;
on peut vérifier que celte formule est identique à celle que Ton donne
en géométrie :
tzh
compris
c'est la limitant celle de
où h est la hauteur du segment, r et r' les rayons de ses deux bases.
Comme autre exemple, considérons le paraboloïde de révolution engendré parla rotation de la parabole 0-2 =r 2pz autour de Oz [fig. 88) ; le rayon du parallèle de cote z est égal à la valeur de x fournie par l'équation de la méridienne, de sorte que l'on a Tzr'^ = 2T:pz, Le volume entre le sommet et un parallèle de cote /ii a pour valeur
V = r^ 2T:pz dz = UpzA ' = Tzph\ ;
moitié du volume du cylindre dont la base serait le parallèle le segment de paraboloïde considéré et dont la hauteur serait ce segment.
Fig. 88.
309. Aire d'une surface de révolulion. — L'aire d'une surface de
révolution comprise entre les plans de deux parallèles est la limite de la somme des aires latérales des troncs de cône engendrés par les côtés d'une ligne polygonale inscrite dans la méridienne de cette surface, lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment.
Soit [fîg. 88) AB un côté de la ligne polygonale, r et r-k-\r les rayons ka et Bfc des parallèles des points A et B; Taire latérale du tronc de cône engendré par AB est
7c(Aa -h B6)AB = 7r(2r -h Ar) x AB .
La partie principale de la parenthèse est 2r; celle de AB est la même que la différentielle ds de Tare AB de la méridienne ; la partie principale de Taire infiniment petite est par suite égale à 2'i:rds, et Taire elle-même est égale à la limite de la somme de ces parties principales, c'est-à-dire à Tintégrale
A= r2T:rds
étendue à Tare de méridienne engendrant Taire considérée.
Exemple, — Considérons le segment de paraboloïde de révolution dont nous avons évalué le volume au n° précédent ; la différentielle de Tare de la méridienne est ds = ^dx^ -\- dz^ , et comme on a x = ^2pz ,
on trouve dx =
= P^, d, = jE^^dz.
Comme r est égal à ^2pz , on a
A= / 271 //?(/) -h 2z)rfz
L'intégrale indéfinie est -^ izip -f- 2z) //>(/> -4- 2z) ; en prenant cette intégrale entre les limites 0 et Ai , on a
A = y ^[(/> + 2/iOV^j^^T2)^-/>^].
310. Moment d'inertie d'un volume de révolution. — Etant donné un solide homogène, dont la masse de Tunitéde volume est représentée par fjL, on appelle moment d'inertie par rapport à une droite d'un
APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFLMES 407
élément de volume infiniment petit At; de ce solide entourant un point M, le produit de la masse de cet élément par la distance du point M à la droite ; il est égal à [jl r* Ai?, si r est la distance précédente. Le moment d'inertie du corps est la limite de la somme de ceux des éléments infiniment petits de volume dans lesquels on peut le décomposer, lorsque ces éléments tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment.
Considérons un corps de révolution homogène ; nous allons déterminer son moment d'inertie par rapport à son axe ; pour cela, nous décomposerons le volume en couronnes par des cylindres ayant pour axe Taxe de révolution, et dont les rayons croissent de quantités infiniment petites. Soient r et r-h-Ar les rayons de deux cylindres consécutifs, h et A -f- AA les hauteurs de ces deux cylindres dans le corps de révolution. La surface comprise entre les cercles de base de ces deux cylindres est égale à 7r(r -h Ar)^ — izr^ = tt Ar(2r -f- Ar) et a pour partie principale 27rr Ar; le volume annulaire compris entre les deux cylindres est égal au produit de l'aire précédente par une hauteur intermédiaire entre h et /i-f-AA, et la partie principale de ce volume infiniment petit est égale à 2Tzrh Ar; sa masse est fx27rr/i Ar.
La distance des différents points de ce volume à l'axe est comprise entre r et r-f-Ar, et a r comme partie principale ; on en conclut que le moment d'inertie du volume annulaire a pour partie principale [A2irr'A Ar. Celui du volume total sera la limite de la somme de ces parties principales, et sera égal à l'intégrale
tj.2'Kr^h dr
étendue aux valeurs extrêmes entre lesquelles est compris r.
Comme exemple, considérons le volume compris entre deux cylindres de rayons To et r, , et de même hauteur A. Dans le cas qui nous occupe, h est constant lorsque r varie, et le moment d'inertie est égal à
{X 2Tzh P r^dr = a 2T:h ( r " 4) '
Remarquons que le volume du corps considéré est égal à 7c(r7 — rl)hy et que sa masse est égale à [X7r(rJ — r-;)h ; si on la représente par M ,
le moment d'inertie a pour valeur M ~^-— — ^ •
311. Travail d*une force variable. — Lorsqu'un mobile se déplace sur une droite sous Faction d'une force constante F dirigée suivant cette droite, le travail de cette force pour un déplacement / du mobile est égal au produit T = F/ de la force par le déplacement.
Supposons que la force ne soit plus constante, mais varie d'une manière connue avec Tabscisse x du mobile comptée à partir d'une certaine origine, et qu'elle soit représentée par F{x) ; supposons que le mobile se déplace depuis un point A d'abscisse a jusqu'à un point B d'abscisse 6. Partageons le déplacement total AB en déplacements infiniment petits Axi, Aa:^, • . . , puis choisissons dans chacun des intervalles des valeurs ^i, ^21 • • • de l'abscisse et les valeurs correspondantes F(Si), F(Ç2), ... de la force. Nous appellerons travaux élémentaires relatifs aux déplacements infiniment petits successifs les produits F(Çi)Airi, F(Ç2)Ax2, . . . , et travail total la limite de la somme de ces travaux élémentaires lorsque les déplacements tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment.
Nous savons que la somme a une limite lorsque F(x) est une fonction continue de x, et que cette limite est égale à l'intégrale définie
T= rF(x)c/x;
c'est cette intégrale qui est la valeur du travail de la- force pour le déplacement AB. Elle est représentée géométriquement par l'aire comprise entre la courbe représentative de la force F{x) , l'axe des x et les ordonnées extrêmes des points A et B.
Exemple. — Si la force est inversement proportionnelle à l'abscisse
k j; et a pour valeur F(a:) = — ^ on a
- dx = k{\oQb — loga).
