CHAPITRE VI

312. Définitions. — Nous avons défini au n" 273 l'intégrale définie d'une fonction f{x) d'une variable entre des limites a et 6; nous allons étendre cette notion au cas de deux variables, que nous désignerons par x et i/.

Considérons toutes les valeurs de ces variables comprises entre certaines limites ou satisfaisant à des inégalités données ; la manière la plus simple de les envisager consiste à employer une représentation géométrique, et à rapporter les valeurs de x et de y à deux axes de coordonnées rectangulaires; de cette façon, les couples de valeurs des variables sont représentés par les points du plan de ces deux axes. L'ensemble des valeurs que nous considérons, et que nous appellerons

champ d'intégration, sera représenté par les points d'une aire limitée par une ou plusieurs lignes qui en forment le contour ; ces lignes sont définies par les inégalités imposées à X et à y.

Par exemple le champ d'intégration défini par les conditions

Fjg. 89. est représenté par tous les points de l'aire

d'un triangle OAB (fig, 89), limité par les axes et par la droite dont l'équation est x-hy — 1=0.

Nous supposerons dans ce qui suit que le champ d'intégration est représenté par une aire limitée ; ce n'est que dans des cas particuliers

que Ton peut étendre les considérations actuelles au cas d'une aire s'étendant à Tinfini.

Soit f(x, y) une fonction des variables x et y continue dans le champ d'intégration. Partageons Taire A représentative de ce champ en aires partielles infiniment petites AÂi, ÙA2, . . . AA„. Soient /"(ÎmTjij la valeur de la fonction pour un point de Taire AA|, /■(ç2, f^.l) sa valeur pour un point de Taire AA*, etc.; effectuons le produit de chacune de ces valeurs par la grandeur de Taire correspondante, et formons la somme des résultats ; cette somme est

S = ^.î,, rii)AA, -!-/•( Si, ri;» AA.-+- • • • -h/"(5„, viJAA„.

Par un raisonnement identique à celui que nous avons fait au n" 273, nous verrions que cette somme, que Ton peut représenter par 2/'(x^ .y)^A, a une limite lorsque le nombre des aires partielles augmente indéfiniment, chacune d'elles tendant vers zéro; cette limite s'appelle Tintégrale double de la fonction f{x,y) étendue à Taire A, et se représente par la notation

Nous allons montrer comment on peut calculer sa valeur au moyen de deux intégrales simples successives.

313. Cas d'un rectangle. — Considérons d'abord le cas simple où

les valeurs de a; et 3/ satisfont à des inégalités telles que

a <,x <ib, c <î/ <d,

a, b, c, d étant des nombres constants ; le champ d'intégration est représenté par un rectangle ABCD dont les côtés sont parallèles aux axes {fiff, 90). La manière la plus simple de le décomposer en aires partielles consiste à le découper en petits rectangles par

ày

Aa

Fig. 90.

des parallèles aux axes ; considérons les parallèles à Ot/ qui ont pour abscisses x et x-+- àx et les parallèles à Ox qui ont pour ordonnées y et j/ -f- Ay ; elles découpent un rectangle a^yS dont la surface est AA = Aa;Ai/ et dont le sommet a a pour coordonnées [xyy). Sans changer la limite de la somme S, nous pouvons choisir comme valeurs des variables \, tj, relatives à Faire précédente, les coordonnées X, y , du sommet a du rectangle, de sorte que nous pouvons écrire S:=22/'(ir, y)^x^y ; sa limite sera représentée par

ffl^^' .v)^'-^^.y •

Pour la calculer, donnons d'abord à x et x-\- i^x des valeurs fixes et faisons varier y, autrement dit, considérons tous les rectangles a^yE compris dans la bande parallèle à Oy limitée par MN et M'N' ; la somme des éléments correspondants entrant dans la somme S sera

égale à lxl,f{x, y)^y et sa limite sera Aa; / f{x,y)dy, l'intégrale

étant prise par rapport h y, x étant considéré comme constant. Nous appellerons ^(x) cette intégrale, de sorte que la somme précédente aura pour valeur Ax c^ix) .

Nous considérerons ensuite toutes les bandes analogues obtenues en faisant varier Xy et nous formerons la somme 2 àx<f{x) ; sa limite

sera l'intégrale définie / dx (^{x) prise entre les limites a et 6.

De cette façon, nous obtiendrons la valeur de l'intégrale double au moyen de deux intégrales simples successives : 1° l'intégrale de f{x, y) par rapport à y entre c et d; le résultat est une fonction cp(x) ; 2*» l'intégrale de ^(x) entre les limites a et 6 ; cette manière d'opérer s'exprime par l'égalité

ffji^y y)dxdy=--J^ dx £ f[x, y)dy.

Nous aurions pu faire d'abord la somme des éléments de S relatifs aux rectangles contenus dans chaque bande parallèle à Ox telle que PQP'Q', et faire ensuite la somme des résultats relatifs aux bandes successives ; nous aurions été amenés de cette façon à effectuer l'intégration de /"(x, y) par rapport à x entre les limites a et b, puis l'intégration du résultat par rapport à y, entre les limites c et

d, ce qui s'exprime par Tégalité

ffj{^> y)dx dy =J^dy J^ f{x, y)dx ;

les deux procédés donnent naturellement le même résultat ; lorsqu'on passe de Tun à l'autre, on dit qu'on intervertit l'ordre des intégrations.

314. Cas général. — Considérons maintenant le cas général où l'aire d'intégration est limitée par un contour formé d'une ou de plusieurs lignes droites ou courbes, dont nous désignerons l'ensemble par C. Ce contour est défini par une ou plusieurs relations entre x et y\ nous supposerons qu'une parallèle à l'un des axes ne le coupe qu'en deux points ; s'il en était autrement, nous décomposerions Taire A par des lignes transversales en aires partielles dont les contours jouiraient de la propriété précédente, et nous ferions la somme des intégrales étendues à ces aires partielles.

Soient a et 6 les limites entre lesquelles varie l'abscisse d'un point décrivant le contour, soient c et e/ celles de son ordonnée ; décomposons comme précédemment l'intervalle (a, 6) en intervalles partiels ùlx, et [c,d) en intervalles Ay, puis menons par les points

de division des parallèles aux axes; nous formons de cette façon des rectangles tels que apyS dont la surface est égale à AxAy [fig, 91).

L'aire totale A se trouve ainsi décomposée en aires infiniment petites ; la plupart de ces aires sont des rectangles entièrement intérieurs au contour C; mais quelques-unes, placées près de ce contour et limitées par lui en partie, ne sont formées que par des portions de rectangle; nous allons montrer qu'on peut cependant, sans changer la limite de la somme S, remplacer cette somme par une autre, étendue à une aire composée exclusivement d'aires partielles rectangulaires.

Ao;

Flg. 91.

En efTet, l'ensemble des rectangles qui sont coupés par le contour, et dont une portion seulement fait partie de Taire A , constitue une couronne dont la largeur tend vers zéro en même temps que Ax et Ai/ ; si nous supposons, ce qui a lieu ordinairement, que la longueur du contour C soit limitée, Taire de cette couronne tend vers zéro. Comme la fonction ([x, y) reste finie, la somme des produits obtenus en multipliant les valeurs de cette fonction soit par les aires des rectangles coupés par le contour, soit par une portion de ces aires, tend vers zéro ; nous en concluons que Ton peut, sans altérer la limite de la somme totale S/^x, î/)AA, supprimer les aires non rectangulaires avoisinant le contour, ou remplacer certaines d'entre elles par les rec tangles entiers dont elles font partie.

Nous substituerons alors à la somme S une autre somme ayant la même limite et dont tous les éléments correspondent, comme nous venons de le dire, à des aires rectangulaires. Ces éléments ont une valeur de la forme ((x, y)\x^y\ leur somme sera représentée par 2S/"(x,î/)AxAy

et la limite de cette somme par / / f[x, y)dxdy, comme dans le

cas simple du numéro précédent.

Pour calculer la limite de la somme 22/*(a:, y)lxày, nous opérerons comme dans le cas d'un rectangle. Considérons les parallèles à Oy d'abcisses x et x-\-\x (fig. 91), et désignons par yo et yt les ordonnées des points M et N où la première de ces droites rencontre le contour C, yi étant > y^ ; ces ordonnées sont des fonctions de X définies par Téquation du contour.

Considérons alors tous les rectangles tels que a^yS compris entre les deux droites dont nous venons de parler et dont les sommets a et S sont compris entre M et N; formons la somme ^f{x,y)\x\y relative à ces rectangles et calculons la limite de cette somme. Les rectangles que nous considérons ont pour limite la bande rectangulaire MNM'N' de hauteur MN et de largeur Ax, et la somme correspondante a pour limite le produit par Ax de l'intégrale / '/*(x, y)dy étendue à Tintervalle MN.

L'intégrale précédente est une fonction de x, à la fois parce que la fonction renferme cette lettre x et parce que les limites yo et i/i en dépendent également; nous appellerons (p(x) cette intégrale. 11 nous reste alors à prendre la somme des éléments relatifs aux bandes

successives, c'est-à-dire la somme J,(^{x)ù.x, la limite de cette somme est égale à l'intégrale / ^[x)dx.

Ainsi donc, le calcul d'une intégrale double se ramène à celui de deux intégrales simples successives, dans le cas général comme dans le cas particulier primitivement étudié ; c'est ce qu'exprime l'égalité

fff{^^y)<^^dy== f dx r*f{x, y)dy.

Nous aurions pu commencer par faire la somme relative aux rectangles compris dans une bande parallèle à Ox, entre les ordonnées y et y-h^y, si xq et Xi sont les abscisses des points P et Q du contour ayant pour ordonnée y, cette somme a pour limite l'intégrale par rapport à x prise entre Xq et Xi ; il reste ensuite à former l'intégrale du résultat par rapport à y entre c et d, ce qu'indique l'égalité

ffji^y y)à^dy ^ f^ dy J^\f[x , y)dx.

Lorsqu'on passe d'une méthode de calcul à l'autre, on dit qu'on intervertit Tordre des intégrations.

315. Exemples. — Le cas le plus simple est celui où la fonction f(x, y) est égale à l'unité; la somme S se réduit alors à 2AA ou à l'aire A intérieure au contour C.

11 résulte de la théorie précédente que cette aire est égale à l'intégrale double // dxdy\ une première intégration par rapport à y

entre les limites ;j/o et y^ nous donnera /' dy^y^ — y,; nous

intégrerons ensuite le résultat par rapport à x entre a et 6; nous obtiendrons de cette façon pour valeur de l'aire A

A== // dxdy= f {yi—yo}dx.

C'est le résultat que nous avons obtenu au n° 303 ; en changeant

l'ordre des intégrations, nous obtiendrions l'intégrale / (xi — Xo)dy.

Nous allons, comme autre exemple, évaluer l'intégrale double de la

fonction f{xy y) =xy étendue au champ d'intégration défini par les inégalités

x^ 0, y^O, xH-y — i ^0;

ce champ est représenté, comme nous l'avons dit au n? 312, par le triangle OAB de la figure 89 ; les lignes du contour ont pour équations x = 0, y=0, x-^y — 1=0.

A une valeur de x correspondent des valeurs de y dont les limites, représentées par M et N, sont yo = 0 et ,yi = i — x; en intégrant d'abord par rapport à y entre ces limites, nous avons

/^' fî^y y)^y = [' ^^y ^y = {^)

il nous reste à intégrer le résultat par rapport à x entre les limites 0 et i ; nous obtenons ainsi la valeur

/">x(l— x)2 , /-i ar — 2x* -h x^ , /x^ x» , x^V i ./. — 2 ''" = ./o 2 '''=(t-T+-8-)o=24-

316. Cas des coordonnées polaires. — Lorsqu'une aire A. du plan des xy est limitée par des courbes définies en coordonnées polaires, on la décompose en aires partielles AA au moyen de demi-droites

issues de l'origine, faisant entre elles des angles infiniment petits AO , et au moyen de cercles concentriques à Forigine, dont les rayons croissent de quantités infiniment petites Ap; ces demi-droites et ces cercles déterminent dans le plan des quadrilatères curvilignes tels que apyS {/i(j. 92j; ce seront les éléments d'aire AA. Soient 0 et 6 -h AO , p et p -f- Ap les '^' angles polaires et les rayons vecteurs des

quatre côtés du quadrilatère apyS ; Taire de ce quadrilatère est la différence des aires des secteurs OyS ft Oap, elle est égale à

elle ne diffère du produit pApAô que par une quantité infiniment petite par rapport à ce produit .

Si /"(p, ô) est une fonction donnée des coordonnées polaires d'un point intérieur au quadrilatère apyS, la somme 2/'(p, 6)AA a, d'après le théorème fondamental du n"" 272, la même limité que la somme 22/'(p, 6)pApAô, car le rapport de deux termes correspondants de ces sommes a pour limite l'unité. La limite de ces sommes est l'intégrale double

J^/-(p,6)p</prfÔ;

on la calcule au moyen de deux intégrales simples successives prises par rapport à p et à 0, comme dans le cas des variables x et ^. En particulier, l'aire A est représentée par l'intégrale précédente

où /"(p, 6) a pour valeur l'unité, c'est-à-dire par // pdp{/6.

317. Applications. — Parmi les applications usuelles des intégrales doubles, en dehors de la détermination des aires planes, nous mentionnerons les suivantes :

i° Supposons répartie sur une surface plane une couche dont la densité varie d'une manière continue d'après une loi donnée et est représentée en chaque point par une fonction p(x, y) des coordonnées de ce point. La masse totale de la couche est égale à la limite de la

somme 2p(a:, î/)AA, ou à l'intégrale double j j p{x, y)dxdy .

2° On appelle moment d'inertie d'une surface plane homogène et de densité égale à l'unité, par rapport à une droite D, la limite de la somme 2^^AA, AA étant un élément de surface, et d la distance à la droite D d'un point intérieur à cet élément. En prenant la droite D comme axe des x, le moment d'inertie est égal à l'intégrale double

Jj^y^dxdy,

De la même manière, le moment d'inertie polaire de la même surface par rapport à un point 0 est la limite de la somme Sp^AA, p étant la distance à 0 d'un point de l'élément AA ; en prenant le point 0 comme pôle, le moment d'inertie est égal à l'intégrale double

// fd^db en coordonnées polaires.

3° Considérons un orifice ou un canal de section donnée A par lequel s'écoule un liquide de façon que les vitesses des différentes molécules au moment de leur passage dans la section A soient nor-

maies à cette section. Si la vitesse en un point est une fonction donnée v{x, y) des coordonnées de ce point, le débit de Tohiice ou du canal est la limite de la somme 2v(a;^i/)AA, et c'est l'intégrale double

jy^v{x,y)dxdy.

Remarquons à ce propos qu'il est quelquefois plus facile de déterminer le résultat d'une intégration que les éléments dont se compose la somme ; c'est ce qui a lieu dans l'exemple précédent, car il est souvent plus facile de déterminer le débit total d'un orifice que la vitesse du liquide aux différents points. »

318. 4® Dôtennination des volumes. — L'application la plus importante est la détermination des volumes cylindriques et des volumes quelconques.

Considérons une surface représentée par l'équation z=f{x,y) et dans le plan des xy une aire A limitée par un contour G {fig. 93) ;

nous allons définir et calculer le volume compris entre le plan des xy et la surface donnée, à l'intérieur du cylindre dont la base est l'aire A, et dont les génératrices sont parallèles à Oz.

Décomposons l'aire A en éléments infiniment petits ; soit AA l'un d'eux; prenons dans AA un point quelconque P et déterminons la cote PM du point M de la surface projeté en P sur le plan xOy. Considérons le volume prismatique dont la base est AA et la hauteur PM , et calculons la somme des éléments de volume infiniment petits analogues ayant pour bases les éléments de l'aire A ; si cette somme a une limite, cette limite sera par définition la valeur du volume cylindrique compris entre le plan des xy et la surface.

En représentant par x et y les coordonnées du point P de Faire VoGT. — Math. sup. 27

Fig. 93.

AA , et par z la cote PM , la somme des volumes partiels est égale à 2 z AA ou 2 f[Xy y) AA, la somme étant étendue à tous les éléments AA; si f{xy y) est une fonction continue, nous savons que cette somme a une limite, et cette limite est l'intégrale double

ffj{^, y)dxdy.

Ainsi donc la valeur d'un volume cylindrique est égale à une intégrale double. Inversement, on peut représenter une intégrale double quelconque, telle que la précédente, par un volume cylindrique ; il suffît de construire la surface représentée par Téquation z=f(x, y) et de considérer le volume compris à Tintérieur du cylindre de base A, et parallèle à Oz, entre le plan des xy et la surface; l'intégrale double est représentée par la valeur de ce volume ; c'est la généralisation de la représentation géométrique d'une intégrale définie (n"" 275). Remarquons que si f{x, y) est négatif, l'intégrale double a une valeur négative, et est égale au volume précédemment considéré, pris en signe contraire.

Lorsque l'on veut évaluer un volume quelconque, limité par une

surface S [fig. 94), on considère le cylindre circonscrit à la surface et dont les génératrices sont parallèles à Oz ; soit A la base de ce cylindre sur le plan des xy .

Supposons pour simplifier qu'une parallèle à Oz issue d'un point P intérieur à A rencontre la surface en deux points Mo et Mi ; désignons par Zq et Zi les cotes de ces deux points, z, étant ^z©.

Le volume intérieur à S est la différence entre les volumes des cylindres de base A et limités Tun à.

la calotte supérieure, l'autre à la calotte inférieure de la surface S ; il est donc égal à

y / Zidxdy — 11 zodxdy = CC (s, — Zojdxdy .

Cette méthode s'applique à la détermination du volume compris à la fois à rintérieur de plusieurs surfaces données ; la surface S limitant le volume se compose alors de plusieurs calottes appartenant à des surfaces différentes.

319. Aire des surfaces courbes. — Considérons une surface fermée

ou une calotte de surface S projetée sur le plan des xy suivant une aire A [fig, 95).

Nous supposerons que toute parallèle à Oz rencontre S en un seul point ; dans le cas contraire, nous décomposerions la surface en calottes partielles jouissant de cette propriété ; nous allons définir et calculer Taire de la surface S.

Décomposons Taire A en éléments infiniment petits ; soient AA Tun d'eux, P un point quelconque intérieur à cet élément, et M le point de la surface projeté en P. Traçons le plan tangent au point M à la surface S , et prenons dans ce plan tangent Taire dont la projection est AA, aire que nous représenterons par A(t; elle est découpée dans le plan tangent par la surface prismatique parallèle à Oz dont la base est le contour de AA .

Formons la somme des aires infiniment petites A<t ainsi déterminées ; si cette somme a une limite, cette limite sera par définition la valeur de Taire de la surface S ; nous la désignerons par d. Considérons la normale MN à la surface S au point M, et Tangle aigu Y qu'elle fait avec une parallèle à Taxe des z; nous savons (n^ 75] que la projection A A de Taire A<t est égale à A(t cos y ; par

Fig. 95.

conséquent, nous avons A<t ==

AA

et nous en concluons que la cos Y ^

somme des aires Ad a pour valeur 2 AA.

cos Y

Si cos Y est une fonction continue des coordonnées x, y du point M et du point P,. ainsi que son inverse, la somme précédente a une

420 CALCUL INTÉÛRAL

limite, et cette limite est égale à Tintégrale double de la fonction

étendue à Taire A ; nous avons dans ce cas ^

(X = / / dxdy.

JJa cos y ^

Si Féquation de la surface S est f{x, y, z) = 0, les équations de la normale sont (n^ 258)

et le cosinus de l'angle aigu y qu'elle fait avec Oz est égal à la valeur absolue de la quantité