CHAPITRE VII
320. Définition et calcul des Intégrales triples. — Considérons trois variables x, y, z et toutes les valeurs de ces variables satisfaisant à des inégalités données ; elles constituent un champ d'intégration. En employant trois axes de coordonnées rectangulaires, Ox, Oy, Oz, ce champ est représenté par tous les points d'un volume V limité par une ou plusieurs portions de surface ; nous supposerons ce volume limité.
Soit f{x, y, z) une fonction des variables continue dans le champ d'intégration ; partageons le volume V en volumes partiels infiniment petits AVi, AV2, . . . AV„ ; prenons la valeur de f pour un point de chacun d'eux, multiplions-la par la grandeur du volume correspondant; et faisons la somme des produits ainsi formés, somme que nous représenterons par J^f{x, y, z) AV. Un raisonnement identique à celui que nous avons fait au n^ 273 montre que cette somme a une limite lorsque le nombre des volumes partiels augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro ; nous l'appellerons intégrale triple de la fonction f{x, y, z) étendue au volume V.
Pour l'évaluer, nous décomposerons le volume en éléments partiels par des plans parallèles aux plans de coordonnées ; ces plans déterminent des parallélipipëdes dont les arêtes sont parallèles aux axes ; si nous représentons par Ax^ ày et Az les dimensions de Tun quelconque d'entre eux, son volume est AV = Ax At/ As ; en raisonnant comme aux numéros 313 et 314, nous verrions que la somme 2/'(jc, y, z) AV peut être remplacée par 222 /"(x, y, z) AxAy Az ; sa limite sera représentée par la notation
f{x, y, z) dxdydz.
Pour la calculer, nous la ramènerons à trois intégrales simples successives. Supposons qu'une parallèle à Oz rencontre la surface
limitant le volume en deux points, et dési- * gnons par zo et Zi les côtes des points M et N situés sur une telle parallèle à Oz ayant pour abscisse X et pour ordonnée y (fig, 96) ; considérons la somme ^f[x, y, z) àx ^y Az étendue aux parallélipipèdes intérieurs au volume, compris entre les plans d'abscisses X et x + Ax et les plans d'ordonnées y et y -\- ÙLy; nous verrions, comme dans le cas des intégrales doubles, que la limite de cette somme, lorsque, Ùlx et At/ restant fixes, les éléments Az tendent vers zéro, est égale au produit de Ax Ay par l'intégrale
co
r*f{^,y,^)dz.
Cette intégrale est une fonction de x et de y, à la fois parce que f en dépend et parce que zq et zi varient avec x et y\ nous la désignerons par (^{x, y)\ nous aurons alors à chercher la limite de la somme J,I,^{x, y) Ax Ay ; cette limite n'est autre que l'intégrale double
/ / ?(.Vï^)^^^y étendue à l'aire A suivant laquelle se projette le
volume sur le plan des ty. Nous savons que la valeur de cette intégrale double est le résultat de deux intégrations successives, la première de tf{x, y) par rapport à y entre les ordonnées yo et yi des points P et Q correspondant à une valeur de x: le résultat est une fonction '\f{x), et la seconde de ^{x) par rapport à x entre les abscisses extrêmes a et 6.
Le calcul de l'intégrale triple se ramène ainsi à celui de trois intégrales simples ; ce qu'on indique par Tégalité
Nous aurions pu commencer les intégrations par rapport à une autre variable ; nous obtiendrions le même résultat, quel que soit Tordre des intégrations.
321. Détermination des volumes. — Le cas le plus simple est celui où f{x,y,z) se réduit à Tunité; la somme 2/*(x, y, z)AV se réduit à 2AV, et est égale au volume du champ d'intégration ; nous voyons que la mesure de ce volume est égale à Tintégrale triple
Si nous effectuons une première intégration par rapport à z, nous sommes ramenés à l'intégrale double
V =ff^{^i — ^o) dxdy ;
nous retrouvons ainsi le résultat du n** 318.
Si nous effectuons au contraire une première intégration par rapport à X puis une seconde par rapport à y, le résultat est l'intégrale
double / / dxdy, et il a pour valeur l'aire A{z) de la section de cote z ; nous avons alors, en effectuant la troisième intégration par rapport
\= r'X{z)dz;
nous retrouvons ainsi le résultat que nous avons obtenu au n° 307.
322. Applications. — Les applications usuelles des intégrales triples, outre le calcul des volumes, sont la détermination des masses, des centres de gravité, de l'attraction et des moments dinertie ; nous mentionnerons en particulier les suivantes :
1® Etant donné un corps dont la densité en chaque point varie d'une manière continue avec les coordonnées de ce point et est représentée par une fonction donnée p(x, ;y, z) de ces coordonnées, la masse
d'un élément de volume AV entourant le point {x, t/yz) ne diffère du produit p(a:, y, z)AV que d'une quantité infiniment petite par rapport à ce produit ; en prenant pour partie principale de cette masse la quantité dm = p(x, y, z)AV, nous voyons que la masse totale est la limite de la somme 2p(x, y, z)AV ; elle est égale à l'intégrale triple
M =JJJ^^[x, y, z) dxdy dz.
2® Si r est la distance à un axe d'un point (jc, y, z) intérieur à un élément de volume AV, le moment d'inertie par rapport à cet axe de la masse de ce volume AV a pour partie principale r'^dm ; le moment d'inertie de la masse totale par rapport à l'axe est la limite de la somme I,r^dm, et est égal à l'intégrale triple
jlfr^dm = / / / '''p(^> y ^) dxdy dz ,
p(x, y, z) étant, comme précédemment, la densité au point (x, y, z). Considérons par exemple un tétraèdre trirectangle OABC (/îgr. 97), dont les arêtes OA, OB, OC rectangulaires deux à deux, sont égales à a ; supposons que le volume de ce tétraèdre soit homogène et que sa densité soit égale à l'unité; nous allons chercher son moment
d'inertie par rapport à l'arête OC. Si nous prenons OC comme axe des z, OA et OB comme axes des x et des y, le moment d'inertie cherché est égal à l'intégrale triple
fff{x^-\-y^)dxdydz.
Nous effectuerons les intégrations successives, d'abord par rapport à 2, ensuite par rapport à y y enfin par rapport à x ; les points du volume se projettent sur le plan des xy à l'intérieur du triangle OAB, et le plan ABC, limitant supérieurement le tétraèdre, a pour équation x-f- y -h z = a.
Fig. 97.
A un système de valeurs de {x, y) représentées par un point Mo de Faire OAB correspondent dans le volume des valeurs de z comprises entre les cotes des points Mo et Mj ; la première de ces cotes est zo = 0 et la seconde, fournie par Téquation du plan ABC, est Zi = a — X — y.
Dans le plan xOy, la droite AB limitant Taire OAB a pour équation x-hy = a. A une valeur de x comprise entre 0 et a et représentée par Po correspondent dans Taire OAB des valeurs de y comprises entre les ordonnées des points Pc et Pi ; la première de ces ordonnées est jyo = 0 et la seconde, fournie par Téquation de AB est yi = a — x.
Enfin, X varie de 0 à a ; nous avons par suite
fff (x^ -h y^) dx dy dz = Hdx P''' dy C""^' (x« + y^) dz, La première intégration par rapport à z donne pour résultat
(x«-f-yV^=[(x«-f-i/2)zJ^ =(x^^y^)(a-x-y); la deuxième, par rapport à y, donne / (x^^y^){a—x—y)dy=l [x«(a-x)— î/x*H-î/'(a~x)— y»]rfi/
la troisième, par rapport à x, donne pour résultat
323. Cas des coordonnées polaires. — Lorsque les différents points de Tespace sont déterminés par leurs coordonnées polaires p, 6, <]; (n° 109), nous décomposons le volume V d'intégration en volumes infiniment petits de la façon suivante:
Prenons des sphères concentriques ayant pour centre Torigine et dont le rayon croît de quantités infiniment petites Ap, puis des cônes de révolution autour de Taxe des z, ayant pour sommet Torigine, et dont le demi-angle au sommet croit de quantités infiniment petites A6, enfin des demi-plans passant par Oz et dont Tangle avec le plan xOz croit de quantités infiniment petites A<]/.
Ces surfaces découpent dans l'espace de petits volumes que nous
prenons pour éléments AV ; nous allons évaluer celui qui est compris entre les sphères de rayons p et p-hAp, les cônes de demi-angles au sommet 6 et e-4-A6, et les plans faisant avec Oz les angles ^ et i|/ -4- Al}/ ; il est représenté par apYSa'P'r'S' dans la figure 98.
Il diffère infiniment peu d'un parallélipipède rectangle dont les dimensions sont 1** aa', qui a pour valeur Ap, 2* Tare «y, qui a pour valeur p AO, et 3^ 1 arc a^, qui est égal au produit de At]/ par le rayon aoo du parallèle du point a, c'est-à-dire à psinOAtj;. Nous sommes conduits de cette façon à substituer à AV le produit p^ sin ô Ap A6 Al]; dont le rapport à AV a pour limite Tunité ; si /"(p, ô , t|/) est la fonction à intégrer, nous voyons, par un raisonnement analogue à celui du n° 316, que l'intégrale cherchée est égale à
Fig. 98.
^yyy^/'(p,6,i{/)p*sinec^pc/ôc/i|/;
on l'évalue au moyen de trois intégrales simples successives, comme dans le cas des variables x, y, z.
En particulier, lorsque la fonction /"(p , 0 , i]/) est égale à l'unité, nous voyons que la mesure d'un volume en coordonnées polaires est fournie par l'intégrale triple
/YY' p2 sin ô c/p rf6 rff
