CHAPITRE VIII
324. Différentielle totale d'une fonction de deux variables. — La
difTérentielle totale d'une fonction F(x^ y) des deux variables x et
y est
,„ ôF , , ôF , a? = —- dx-ir -— dy \
ôx ôy
les coefficients de dx et de dy dans l'expression de cette différentielle sont les dérivées partielles de F ; elles ne sont pas deux fonctions
indépendantes Tune de l'autre, car la dérivée delà première par rapport
ô*F à y est égale à et celle de la seconde par rapport à x est
ô*F égale à - — r-, et ces deux dérivées sont identiques, ôyax
Le problème inverse de la recherche des différentielles totales est le suivant :
Trouver une fonction V{x, y) dont la différentielle totale est une expression donnée
(1) P{x,y)dx^Q{x,y)dy.
Pour que ce problème ait une solution, il est nécessaire, d'après ce que nous venons de dire, que la relation
(2) . f = ^ ^ ^ ôy ôx
soit identiquement satisfaite; nous allons montrer que cette condition
que Ton appelle condition (Tinlégrabilitéy est suffisante, et nous déterminerons, lorsqu'elle est remplie, toutes les fonctions répondant à la question.
Dire qu'une fonction ¥[xy y) a pour différentielle totale l'expression (1), c'est dire que sa dérivée par rapport à x est égale à P(a;, y) et que sa dérivée par rapport à y est égale à Q[x,y)\ nous allons déterminer d'abord les fonctions satisfaisant à la première de ces deux condition^ ; nous exprimerons ensuite qu'elles satisfont à la seconde.
Toutes les fonctions dont la dérivée par rapport à x est égale à l'expression V{Xy y) sont les fonctions primitives de cette expression, où X est considéré comme seule variable et y comme constant ; d'après ce que nous avons dit au n° 277, nous obtiendrons une de ces fonctions primitives en prenant l'intégrale définie de la fonction P(a: , y) par rapport à x entre les limites a et x, a étant une valeur fixe arbitraire ; toutes les autres ne différeront de cette intégrale que d'une quantité indépendante de x, mais pouvant contenir y ; nous aurons alors comme expression générale des fonctions F(a:, y) satisfaisant à la première condition
F(a:, .y)= / P(a;, y)dx + <f{y).
(f{y) désignant une fonction arbitraire de y.
Nous déterminerons cette dernière fonction par la seconde condition en écrivant que la dérivée de F{x, y) par rapport à y est égale à Q{x, y) ; nous obtiendrons la dérivée de l'intégrale qui entre au second membre de la dernière relation en prenant la dérivée de la fonction P{x, y) sous le signe d'intégration (n° 301); nous devrons donc avoir
ôy dy
ÔP
D'après la relation (2) supposée remplie, nous pouvons remplacer — —
par — ^ dans l'intégrale qui entre au second membre ; nous avons
ôQ alors à déterminer l'intégrale définie par rapport à X de -p^; comme
ox
la fonction primitive de cette expression est la fonction Q elle-même, nous obtiendrons la valeur
en remplaçant par cette expression le premier terme du second membre de Féquation (3), nous aurons, pour déterminer 9(1/), la condition
ou bien
Qi=^. y) = Q(^, y) - Q(«, y) + ^ .
c/çp
dy
Nous concluons de là que cp(^) est une fonction primitive de Q{a, y) ; pour plus de symétrie, nous la représenterons par une intégrale définie prise entre les limites b et y, b étant une quantité fixe arbitraire qui joue le rôle de la constante d'intégration ; nous aurons de cette façon
Nous voyons ainsi qu'il existe une solution du problème, dont Texpression générale est
(4) F(x, y) =£^{x, y)dx + £(i{a, y)dy;
toute autre solution ne diffère de celle-là que par une constante, car la différence de ces deux solutions a une différentielle totale nulle ; elle est par suite une constante indépendante de x et de y,
La fonction F{x, y) ainsi obtenue semble dépendre de deux constantes a et 6 ; en réalité elle ne dépend que d'une seule constante, qui renferme à la fois a et &; on peut en effet démontrer que le second membre de la relation (4) se met sous la forme ^{x, y) — ^(a, 6) .
