Exemple. — Soit l'expression
[x^ -hy^)dx-h 2xy dy ;
on vérifie que la relation (2) est satisfaite ; on trouve alors pour l'intégrale de cette différentielle totale, en appliquant la formule (4),
r\x^-^y^}dx-hj^2aydy = (^^-^xy^y^^{ay^)l
•3 \ / Af 3
La méthode que nous avons employée montre que toute différentielle totale a une intégrale indéfinie, et elle donne le moyen de la calculer au moyen de deux intégrales définies ; dans beaucoup de cas, on aperçoit immédiatement la fonction cherchée sans effectuer ces deux intégrations ; c'est ainsi que les expressions
, , , , , , xdy — ydx xdy — ydx xdx-^ydy, xdy-hydx, — ^ — ^ — , — ^ ^ —
sont les différentielles totales des fonctions
xy-+-C,
arctg
326. Différentielle totale d'une fonction de trois variables. — La
différentielle totale d'une fonction F{x, y, z) de trois variables x, y, z est
dF = dx H dy
ôx by
dz;
les dérivées partielles qui foraient les coefficients de dx, dy et dz ne sont pas indépendantes Tune de l'autre ; si Ton forme en effet les dérivées secondes de F , on doit avoir
ô /ôF\
ô/ôF\ Oy\bx)
ô / ÔF ^
5^/ ÔF
ôar \ ôz /
ô / ÔF
dx \ ôy / Ôi/Vôz/
Ô^F ôyôz
Ô^F dzôx
Lorsque Ton veut, inversement, déterminer une fonction F(x, y, z) dont la différentielle totale est une expression donnée de la forme
P(x, y, z)dx-hQ{x, y, z)dy -h R{x, y, z)dz,
il est nécessaire, d'après ce qui précède, que les fonctions P, Q, R satisfassent aux trois relations
ôP ^ 5Q
Ôy ôx
Ô2 ôy
ÔR
Ôx
ÔP
ôz '
nous allons montrer que ces conditions, que Ton appelle conditions d'intégrahilité, sont suffisantes, et nous déterminerons, lorsqu'elles sont remplies, toutes les fonctions dont l'expression donnée est difTérentielle totale.
Toute fonction ¥[x, y, z) répondant à la question a une dérivée par rapport à x égale à P(x^ y y z) ; par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait précédemment, nous voyons que cette fonction a pour valeur
a étant une constante et 9(3/^ z) une fonction indépendante de x . Pour déterminer 9, nous écrirons que les dérivées de F par rapport h y ti z sont Q et R, c'est-à-dire que Ton a, en appliquant la règle de dérivation des intégrales définies,
ÔP ôy
dx-{-
ÔP
ôz
(/xH-
ÔP ÔP
mais, d'après les relations (6), nous pouvons remplacer - - et --
ôQ , ôR ., ^y ^^
par — ^- et — — ; nous avons par suite ox ox
nous en tirons
La fonction (p(y, z) doit ainsi satisfaire à la condition d'avoir pour différentielle totale l'expression
Q(a, y y z)dy -f- R(a, y, z)dz ;
d'après la deuxième des relations (6), cette expression est intégrable
et son intégrale est égale, comme nous Tavons vu, à
6 et c désignant des constantes. Nous voyons ainsi qu'il existe une solution du problème dont l'expression générale est
F(«; y, ^)=J^^i^^ y y z)dx^J^Q{a, y, z)dy-^J^R(a, b, z)dz\
toute autre solution ne diffère de celle-là que par une constante arbitraire.
Exemple, — L'expression
{y H- z)dx -+- (z H- x)dy -h (a: -+- y)dz satisfait aux conditions d'intégrabilité (6) ; elle a pour intégrale indéfinie
r [y-^ ^)d^ -H /^ (z -+- a)dy -^ r {a-h b)dz
= {xy -hxz-i- yz) — (ab -hac-\- bc) ;
on vérifie qu'elle ne dépend que d'une seule constante arbitraire, et qu'elle a la forme F(x, y, z) — F(a, b, c).
327, Intégrale curviligne dans le cas de deux variables. — Nous allons généraliser la notion d'intégrale définie d'une fonction d'une variable (n* 273) .
Considérons deux fonctions u[Xf y) et v{x, y) de deux variables X et y\ supposons que ces variables soient reliées l'une à l'autre d'une manière connue ; pour plus de généralité, admettons que x et y soient des fonctions données d'un même paramètre t,
Faisons varier / d'une manière continue entre deux limites a et P; supposons que x et y soient continues, ainsi que n{x, y) et v(x, y), pour toutes ces valeurs de t.
Partageons l'intervalle (a, ^) en n intervalles partiels infiniment petits; désignons par A^, A^^, ... A^„ les accroissements successifs de t, et par Aui, Au2, . . . Aii„ les accroissements correspon-
INTÉGRALES CCRVlLlGNfeS 433
dantsdela fonction u{x, y); prenons d'autre pai*t une valeur particulière de la fonction v{x, y) dans chacun des intervalles, multiplionsla par Taccroissement de u{x, y) correspondant et faisons la somme des produits obtenus.
Pour fixer les idées, désignons par Oi une valeur de / choisie dans le premier intervalle, et par Ç| et rii les valeurs correspondantes de X et y ; multiplions v{li , y)i) par Aui , opérons de même dans chacun des intervalles suivants, et additionnons les résultats ; nous formerons la somme
(7) w(Çi, Yii)Aai + i;(52, 7i2)Aii4-H- • • - -h^Ç», ti„)Aw„,
que nous représenterons par ^v{x, i/)Au ; nous allons montrer qu'elle a une limite lorsque le nombre des intervalles augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.
Remarquons que u et v sont des fonctions de la seule variable indépendante <; représentons-les pour ui/ instant par u{l) et v{i); v{li^'t\i) est égal à u(Oi) ; d'autre part, l'accroissement Aii| est égal, d'après la formule des accroissements finis, au produit de l'accroissement A/i par la valeur de la dérivée u'{t) pour une valeur particulière ôj de t comprise dans le premier intervalle. Le premier terme de la somme (7) est donc égal à t'(6i) u'(ôJ)A<i , et les autres termes peuvent être mis sous une forme analogue.
En raisonnant comme nous l'avons fait au n° 273 (1°), nous pouvons remplacer dans la somme précédente, sans en changer la limite, 6{,02, ... par Oi,02) • • • 1 nous obtenons ainsi la somme
(8) v(60ii'(ei)A^-f-r(e2)u'(ô,)A/,-f- ... -+- K6„) ii'(6„)A^ .
Mais cette somme a une limite, qui n est autre que l'intégrale définie,
(9) f\{i)u'{l)dt;
par suite, la somme ^v[x, y)^u a une limite égale à cette intégrale ; on représente cette limite par la notation
Jab
v{x, y)du{x, y),
ab
OÙ a et 6 désignent les valeurs de a; et y pour < = a, a' et b' VocT. — Math. sup. 28
I3i ' CAIXIX I.XTÉfiBAL
\ps valeurs des mêmes variables pour / ^ S : on l'appeUe intégrale curviligne et on la calcule en la remplaçant par rinlégrale définie 9 .
328. Interprétallon géométrique. — Le nom d'intégrale caniligne
donné à cette intégrale provient de la signification géométrique suivante qu'on lui donne ordinairement. Considérons les valeurs de X et de y qui dépendent du paramètre t comme les coordonnées des points d*une court>e plane, et construisons cette courbe; au\ différentes valeurs de / comprises entre — ^ » et ^ correspondent les points successifs d'un arc AB fig. 99 , et à une décom-
*'»g- ^- position de rinter\alle (ot, ^) en intervalles
partiels correspond une décomposition de l'arc AB en arcs partiels infiniment petits AAi, AiAj, . . . , et enfin aux valeurs 61,62* • • • de t correspondent les points Cl, C2, ... situés respectivement sur chacun de ces arcs.
Imaginons un point mobile de coordonnées égales à x et ^, se déplaçant sur 1 arc AB, de A à B, lorsque t varie de a à p ; pour obtenir la somme (7^, nous déterminerons les accroissements successifs de la fonction n lorsque ce mobile parcourt chacun des arcs infiniment petits AAi,AiA2, . . . , nous multiplierons ces accroissements parles valeurs de v en chacun des points Ci,C2, ... situés respectivement sur ces arcs, et nous formerons la somme des produits ainsi obtenus. D'après ce que nous avons vu, cette somme a une limite indépendante du mode de décomposition de Tare AB en arcs partiels et du choix des points Ci, C2, ... sur ces arcs ; pour la déterminer, il suffit de remplacer r et du par leurs valeurs en fonction de t et de dty et de calculer Tintégraie définie obtenue par rapport à t entre les limites a et p. Nous donnerons à cette limite le nom d'intégrale curviligne étendue à Tare AB, et nous la représenterons, lorsqu'il n\ a
pas d'ambiguïté, par la notation / v du.
Si le mobile que nous avons considéré parcourt Tare AB en sens inverse du sens primitif, c'est-à-dire de B vers A, Tordre des limites d'intégration dans l'intégrale définie (9j est interverti ; nous en con-
cluons que la nouvelle intégrale curviligne a une valeur égale et de signe contraire à la première ; c'est ce qu'exprime l'égalité
/ vdu = — / vdu.
Il arrive souvent que Ton considère une intégrale curviligne étendue à un contour fermé ; on suppose que ce contour est parcouru par un mobile dans un certain sens, en partant d'un point déterminé et y revenant ; on forme comme dans le cas précédent la somme (7), et l'on détermine sa limite en la ramenant aune intégrale définie telle que (9).
Remarquons que l'on obtient la même limite pour la somme (7) en prenant sur le contour un autre point de départ du mobile, pourvu que le parcours ait toujours lieu dans le même sens ; on peut donc représenter sans ambiguïté par la notation j vdu l'intégrale curviligne
étendue à un contour C, sans spécifier le point de départ, mais en indiquant toutefois le sens du parcours. Si ce sens est remplacé par le sens contraire, l'intégrale change de signe sans changer de valeur absolue.
329. Exemples. — Comme exemple d'intégrale curviligne, nous mentionnerons la détermination de la masse totale d'un arc de courbe ÂB dont la densité en chaque point est une fonction donnée p(x^ y) des coordonnées de ce point ; cette masse est égale à l'intégrale curviligne
p{x,y)ds,
ds étant la différentielle de l'arc et ayant pour valeur ^dx^ -h dy^ . Un autre exemple est fourni par l'intégrale curviligne
étendue à un contour fermé C {fig, 100); nous supposerons, pour simplifier, que ce contour ne se coupe pas et qu'il n'est rencontré qu'en deux points par toute parallèle à Oy.
Si un observateur décrivant le contour a toujours l'aire intérieure à sa gauche, nous dirons qu'il se déplace dans le sens direct ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche. Nous allons montrer que l'inté-
grale curviligne j y dx, relative au contour parcouru dans le sens
direct, est égale à l'aire intérieure prise négativement.
Soient A et B les points de contact des tangentes parallèles à Oy, a et 6 leurs abscisses. Nous pouvons décomposer l'intégrale curviligne en une somme de deux autres, étendues Tune à Tare ' AMB et l'autre à l'arc BNA ; la première est égale à l'intégrale
/ yodx, I/o étant l'ordonnée d'un point de l'arc AMB , et a pour valeur
Fig. 100.
l'aire akMBb ; la seconde est égale à
yi étant l'ordonnée d'un point de l'arc ANB, et elle est égale à l'aire crANBé prise négativement; nous en concluons que l'intégrale étendue au contour C a pour valeur aireaAMB^ — aireaANBft, et qu'elle est égale à l'aire intérieure au contour, prise négativement.
Comme application, considérons une ellipse rapportée à ses axes, et supposons que les coordonnées de ses points s'expriment au moyen d'un paramètre l par les formules
x=acos<, i/ = 6sin/;
cette ellipse est parcourue dans le sens direct lorsque t varie de 0 à 27r; d'après ce qui précède, nous aurons pour valeur de Taire intérieure à la courbe
aire = — / ydx = — / 6 sin < ( — a sin t)dl = ab f sin* (dl ;
comme la dernière intégrale est égale à tc (n° 294), nous voyons que l'aire de l'ellipse est égale à -nab, résultat déjà trouvé au n* 302.
330. Dans une intégrale curviligne / vdu, nous pouvons toujours remplacer la diiïérentielle du par sa valeur u'^^dx -\- Uydy , et écrire
I V du = I V Uxdx~\- V Uy dy, ./a -'a
«ar les intégrales- sont toutes deux égales à / v{t) u'{t) dt. Si nous
considérons la somme de plusieurs intégrales curvilignes étendues au même arc, nous pouvons réunir d'une part les coefficients de dx, d'autre part ceux de dy, et mettre cette somme sous la forme
?{x , y)dx -{- Q{x , y)dy\
cette manière d'écrire une intégrale curviligne est souvent employée, bien qu'elle ne soit pas indispensable.
331. Condition pour qu'une intégrale curviligne ne dépende que des limites du chemin d'intégration. — La valeur d'une intégrale curviligne dépend non seulement des valeurs que prennent x et y ^ux limites A et B du chemin d'intégration, mais encore de la nature des fonctions x = f[i), y == cp(/j, c'est-à-dire de l'arc suivi entre A et B ; en général, Tintégrale change de valeur quand on fait varier cet arc, quand même les limites A et B resteraient fixes.
Il peut arriver cependant qu'une intégrale curviligne ne dépende que des limites d'intégration et nullement du chemin parcouru entre ces limites ; nous allons démontrer à ce propos le théorème suivant :
Théorème 1. — Pour que Vintégrale curviligne
(10) fy{x,y)dx-hQ{x,y)dy
ne dépende que des limites du chemin d'intégration, il faut et il suffit que la quantité sous le signe d'intégration soit différentielle totale exacte.
1° La condition est nécessaire ; supposons en effet que l'intégrale (10), prise entre les deux points A et B, ne dépende que des coordonnées de ces deux points ; désignons par [a, b) celles du premier et par {x, y) celles du second ; lorsque ces dernières varient, l'intégrale est une fonction bien déterminée des deux variables x et y. Représentons-la par F{x, y) et cherchons ses dérivées partielles.
Donnons à x un accroissement h, y restant constant, et désignons par B' le point de coordonnées {x-\~h,y)\ la fonction F{x~\-h, y) est égale à l'intégrale curviligne prise entre les points
A et B' ; comme elle ne dépend pas du chemin suivi, nous pouvons supposer que l'arc d'intégration se compose de Tare d'abord suivi de A à B, puis d'un chemin rectiligne parallèle à Ox de B à B'; la différence F(x -\-h,y) — F(x, y) est donc égale à l'intégrale relative à la di'oite BB^
•Mais, sur cette droite, y reste constant et dy est nul ; nous avons donc simplement
Y[x-^h,y)^Y[x,y)= r"'?{x,y)dx;
cette égalité exprime précisément que la fonction F{x, y), où x est considéré comme seule variable, est égale à l'intégrale de P{x, y) par rapport à x, ou bien qu'elle a pour dérivée P(x, y); nous verrions, par un raisonnement analogue, que la dérivée de Fix, y) par rapport à y est égale à Q{x, y) ; nous concluons de là, que la fonction V{x, y) a pour différentielle totale la quantité P dx-\-Qdy^ et par conséquent que la quantité sous le signe d'intégration (10) est une différentielle totale exacte.
2° La condition est suffisante ; supposons que Pdx -h Qdy soit différentielle exacte ; nous savons déterminer {n° 324) Tintégrale indéfinie de cette différentielle ; désignons par F{x, y) l'une quelconque de ses déterminations.
L'intégrale curviligne (10), prise le long d'un arc de courbe AB dont les coordonnées s'expriment au moyen d'un paramètre t par les formules x = f{t), y = (f[t), s'obtient, comme nous l'avons vu, en remplaçant x et y par leurs valeurs et intégrant par rapport à t entre les limites a et p de ce paramètre ; elle a par suite pour valeur
(il) /?[P[/"")' i'(')] /"W + Q[AO. <p(0] ?'(<)]</'•
Mais la quantité sous le signe d'intégration est identique à la différentielle par rapport à t de la fonction F[/'(^), (p(^)], par suite l'intégrale (11) est égale à la différence des valeurs de cette fonction pour t = OL et < = p, c'est-à-dire à la différence des valeurs que prend la fonction F{x, y) pour les limites A et B du chemin d'intégration. Nous concluons de là que l'intégrale (10) ne dépend que des coordonnées des points A et B et nullement du chemin suivi entre ces deux points, ce qui démontre la proposition.
Du raisonnement que nous venons de faire, nous déduisons le théorème suivant:
Théorème II. — Une intégrale curviligne de différentielle totale exacte est égale à la différence des valeurs que prend une intégrale indéfinie quelconque de cette différentielle aux limites d'intégration,
332. Cas d*un contour fermé. — Si le chemin d'intégration est un contour fermé, l'origine et l'extrémité de ce chemin sont deux points confondus et ont mêmes coordonnées; nous en concluons le théorème :
Théorème III. — Une intégrale curviligne de différentielle totale prise le long d'un contour fermé est nulle.
Les raisonnements qui précèdent supposent toutefois que l'intégrale indéfinie F(x^ y) de la différentielle totale a une seule détermination, comme cela a lieu par exemple pour l'intégrale de xdy -\-y dx , qui a pour valeur x^-f-C. Dans le cas où F(j!:, y) est susceptible de plusieurs déterminations, il peut arriver que celle qu'elle possède à la fin du chemin d'intégration ne soit pas la même que celle qui correspond à l'origine, et qu'elle en diffère par une constante numérique ; alors, l'intégrale relative au contour peut ne pas être nulle, mais être égale à cette constante.
C'est ce qui a lieu pour l'intégrale curviligne
Çx dy — y
'x dy — y dx
la quantité sous le signe d'intégration a pour intégrale indéfinie arc tg-^ -i-C, et cette fonction a une infinité de déterminations, qui
diffèrent entre elles d'un multiple entier de t: .
Si l'on prend l'intégrale précédente relativement à un contour n'entourant pas l'origine, l'arc dont la tangente est -^ reprend la même va-
leur aux deux extrémités de ce contour, et l'intégrale est nulle ; mais si le contour enveloppe l'origine, par exemple dans le sens direct, l'arc
dont la tangente est -^ augmente de 2-1: , et l'intégrale curviligne est égale à 2iT.
333. Cas de trois variables. — Tout ce que nous avons dit sur les intégrales curvilignes s'étend au cas de trois variables x,y, z. Supposons que ces variables soient des fonctions continues
d'un même paramètre /, et qu'on donne à ce paramètre successivement toutes les valeurs comprises entre deux nombres a et p; en employant une représentation géométrique et considérant x^y et z comme coordonnées d'un point de l'espace, le point [x, t/, z) décrit alors un certain arc de courbe AB. Soient u{x, y, z) et r(x, y, z) deux fonctions continues des variables ; à toute décomposition de l'intervalle (a, p) en intervalles partiels infiniment petits A< correspondent une décomposition de l'arc AB en arcs infiniment petits et une somme de la forme l,v{x, y, z)^u{x, y, z), analogue à la somme (7); comme dans le cas de deux variables, cette somme a une limite, que
l'on représente par / v du^ et que l'on appelle intégrale curviligne
relative à l'arc AB ; on la calcule en remplaçant v et du par leurs valeurs en fonction de (, et intégrant le résultat par rapport à t entre a et p.
On exprime ordinairement du sous la forme ui dx -hVydy -{- ul dz ; toute intégrale curviligne, ainsi que toute somme de telles intégrales se rapportant au même chemin d'intégration peuvent alors être écrites sous la forme
/ P(^^ ,V; 2)^^ + Q{^> y y ^)dy -4- ^{x, y, z)dz .
Les résultats que nous avons obtenus dans les deux derniers numéros et les théorèmes 1, II et III s'étendent sans changement aux intégrales curvilignes relatives à trois variables.
